REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Ayant édifié cet admirable corps de doctrine, Weier- 
strass s’est tout naturellement trouvé amené à en faire 
l’application à diverses classes particulières de fonctions. 
FONCTIONS ALGÉBRIQUES 
C’est par le problème de l’inversion des intégrales 
abéliennes que Weierstrass fut, dès 1857, amené à l’étude 
des fonctions algébriques. Quelques semaines après la com- 
munication qu’il fit à ce sujet à l’Académie des Sciences de 
Berlin, le Journal de Crelle publia le Mémoire si juste- 
ment célèbre et tant admiré de Riemann sur la question. 
Weierstrass, soucieux de rattacher aux siens les résultats 
de son émule, retira son manuscrit de l'imprimerie, pour 
se. livrer à des recherches algébriques que lui-même 
jugeait très difficiles et qui, interrompues par d’autres 
travaux, lui prirent beaucoup de temps. Aussi n’est-ce 
qu’en 1869 fit connaître ses résultats définitifs dans 
cet ordre d’idées. 
A l’encontre de celle de Riemann, fondée sur des notions 
de géométrie de situation aujourd’hui classiques, la doc- 
trine de Weierstrass, non moins originale et non moins 
profonde, n’emprunte rien qu’à la seule analyse. Sa défi- 
nition du rang p (égal au genre augmenté d’une unité) 
d’une courbe algébrique par la réduction de proche en 
proche de ses singularités, est très belle, très purement 
algébrique, en même temps que très utile, car elle s’étend 
aux surfaces, comme l’a montré M. Picard. Elle le conduit 
à une forme canonique dépendant de 3 p modules pour 
toute courbe algébrique de rang p, si toutefois p est 
supérieur à z. Cette doctrine entraîne en outre une 
théorie complète, admirablement enchaînée, des intégrales 
abéliennes, de leurs périodes, de leurs formes normales. 
Moins intuitive sans doute que la théorie de Riemann, 
celle de Weierstrass peut, en revanche, être citée comme 
