REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
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FONCTIONS ELLIPTIQUES 
C’est la théorie des fonctions elliptiques tout entière 
que Weierstrass a refaite en partant d’un point de vue 
très élevé. 
Lorsqu’une fonction f (z) est telle que f (z + z 0 ) soit 
une fonction algébrique de f (z) et f (z 0 ), on dit qu’elle 
admet un théorème d'addition. Weierstrass montre que 
toute fonction admettant un théorème d’addition est une 
fonction algébrique soit de z, soit de e gz , soit de p (z), la 
fonction p étant définie par la relation 
z ..... r ap 
Joo \/~4p 3 — ffiP — (h 
et que la réciproque est vraie. Il obtient le même théo- 
rème, ainsi que sa réciproque, pour toute fonction uni- 
forme liée algébriquement à sa dérivée. 
C’est dans ces belles propositions que la fonction p (z) 
puise sa première importance; c’est par là que Weierstrass 
s’est trouvé amené à en faire une étude approfondie, lui 
adjoignant d’ailleurs les fonctions ? (z) et a (z) définies par 
'£ — p, - ='Ç (avec un choix convenable des constantes). 
Au moyen de ces nouvelles fonctions, Weierstrass a pu 
refaire tout l’édifice des fonctions elliptiques, auquel il 
semblait pourtant que Jacobi eût donné sa forme défini- 
tive. Dans cette nouvelle théorie, les trois fonctions p, 
’Ç et cr remplacent sn, Z, (-), l’invariant I = joue le rôle 
de k\ la fonction I u et w' étant les périodes, devient 
la nouvelle fonction modulaire, etc. Weierstrass adjoint 
d’ailleurs à la fonction p une fonction entière désignée 
par Al (z), fort importante et dont l’analogue joue un rôle 
considérable dans la théorie des fonctions hyperelliptiques. 
Les fonctions de Weierstrass se prêtent admirablement 
