KARL WEIERSTRASS. 
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toute sa généralité. Cette solution constitue aux yeux de 
M. Hermite, juge éminent en la matière, une des plus 
importantes et des plus belles découvertes qui aient été 
faites en analyse. 
Weierstrass avait fait voir que les fonctions de plu- 
sieurs variables qui résolvent la question sont uniformes : 
« Au point de vue de la doctrine, dit l’illustre géomètre 
français, ce résultat est extrêmement remarquable ; il 
anticipait sur notre époque, il dégageait en Analyse une 
de ces idées fondamentales préparées par une lente élabo- 
ration, qui contiennent en germe les progrès de la Science. 
Une méthode profonde, des calculs rappelant la perfec- 
tion et l’élégance de Gauss et de Jacobi conduisent ensuite 
au quotient de deux fonctions holomorphes, généralisa- 
tion de la fonction 0. » 
La belle exposition systématique de Weierstrass est 
d’ailleurs calquée sur sa théorie des fonctions elliptiques. 
Il est remarquable que Weierstrass n’ait jamais publié ni 
enseigné la démonstration du théorème fondamental qu’il a 
pris comme point de départ. Ce théorème consiste en ce 
que, si les fonctions f[u , v) et œ (u,v) admettent un théorème 
d’addition — c’est-à-dire si f ( u -j- u 0 , v + -y 0 ) et <p (u + u 0 , 
v + ü o) s’expriment algébriquement au moyen de fiu, v), 
<p {u, v ), v o)< ? ( u o> w o) — ce sont des fonctions algé- 
briques de fonctions méromorphes quadruplement périodi- 
ques ou de dégénérescences de celles-ci. Dans ses dernières 
années même, l’inventeur du théorème n’arrivait plus, 
paraît-il, à reconstituer cette démonstration. Fort heu- 
reusement, le théorème a été démontré dans le cas de 
quatre périodes par MM. Poincaré, Picard, Appell, dans 
celui de une, deux ou trois périodes, par. M. Painlevé. 
Il faut encore citer de belles propositions arithmétiques 
sur la réduction du nombre des périodes des intégrales 
abéliennes de première espèce, données par Weierstrass 
dans ses cours oraux, employées notamment par Sophie 
Kovalevsky et démontrées par M. Picard pour le genre 2 , 
par M. Poincaré pour un genre quelconque. 
