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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
forment un véritable monument, réuni dans le volume dont nous 
allons donner une rapide analyse et qui s’impose a 1 attention 
de tous les mathématiciens comme une œuvre véritablement 
maîtresse. 
Suivre l’auteur pas à pas en faisant ressortir tous les résultats 
importants qu’il a obtenus, et en soulignant partout la rigueur 
de ses démonstrations, est chose impossible dans les limites qui 
nous sont ici imposées. Aussi bien n’essayerons-nous pas de le 
faire, nous attachant seulement à mettre en évidence le sens et la 
portée de sa belle théorie, et cela même en nous plaçant surtout 
au point de vue des personnes qui, sans être étrangères aux 
équations différentielles, n’en ont pourtant pas fait l’objet d’une 
étude spéciale, cela dit pour éviter de la part des purs analystes 
le reproche de trop insister sur des notions qui leur sont parfai- 
tement familières. 
Nous ajouterons que, pour plus de simplicité dans le langage, 
nos explications seront données comme s’il ne s'agissait que 
d’une équation différentielle isolée, alors que les résultats obte- 
nus par M. Painlevé sont valables pour les systèmes d’équations 
simultanées. 
Le problème de l’intégration des équations différentielles ordi- 
naires s’est tout d’abord offert aux mathématiciens sous la forme 
suivante : Trouver une fonction satisfaisant à l'équation 
donnée et qui soit exprimable sous forme finie cm moyen des 
algorithmes introduits par l’étude de l’algèbre et de la trigo- 
nométrie. 
On ne tarda pas à s’apercevoir qu’envisagé à ce point de vue, 
le problème 11’était susceptible de solution que dans des cas 
relativement très limités. Devait-on, d'après cela, se résigner à 
renoncer au secours de l’analyse dans les autres cas ? Il n’en a 
rien été, grâce à l’emploi des admirables méthodes d’approxima- 
tion inaugurées par Cauchy, multipliées depuis lors et portées à 
un haut degré de perfection par Weierstrass, par MM. Poincaré 
et Picard, pour ne citer que les plus illustres. Grâce à ces 
méthodes, la fonction définie par l’équation différentielle et non 
susceptible de s’exprimer sous forme finie au moyen des fonc- 
tions élémentaires peut, dans un certain domaine déterminé, être 
représentée, avec tel degré d’approximation que l’on s’impose, 
par certains développements en séries qui, au point de vue du 
calcul numérique, rendent les mêmes services que l’expression 
sous forme finie lorsqu’elle est possible. 
C’est sous les mots qui viennent d’être mis en italique, que se 
