BIBLIOGRAPHIE. 
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cache la plus grosse difficulté du problème. Lorsque l’on part de 
conditions initiales données, la représentation approchée de la 
fonction satisfaisant à l'équation considérée cesse, à partir de cer- 
taines limites, d’être valable. Est-il possible cependant de suivre 
les variations de l’intégrale dans un champ quelconque ? C’est 
au problème envisagé à ce dernier point de vue, que M. Painlevé 
n’a pas craint de s’attaquer. Est-il utile d’ajouter qu’aucun plus 
difficile n’a jamais sollicité les efforts des géomètres ? Pour peu 
même qu’on s’en fut fait une idée suffisamment nette, on pouvait 
a priori douter qu’il fût possible d’en faire sortir quelque résul- 
tat autrement qu’en l’envisageant dans des cas particuliers. 
On verra à quel point les travaux de M. Painlevé sont venus 
démentir une telle prévision. Ils ont trait, en effet, à l’équation 
d’ordre quelconque la plus générale, où la fonction et ses déri- 
vées figurent algébriquement. 
Le premier objet d’étude qui s’offre dans cet ordre d'idées, est 
constitué par les singularités auxquelles viennent, en quelque 
sorte, se heurter les développements approchés et où ils cessent 
d’être valables, singularités qui doivent être envisagées tant 
sous le rapport de leur nature que sous celui de leur disposition, 
et cela aussi bien dans le domaine complexe que dans le réel. 
C’est, en effet, un fait bien remarquable que les singularités dans 
le domaine complexe arrêtent les développements même dans le 
domaine réel. L’exemple le plus simple, en même temps que le plus 
classique qu’on en puisse donner, est celui de la série de Taylor. 
Si on cherche entre quelles limites une fonction algébrique réelle 
y est développable suivant les puissances de x, on n’aboutit 
à aucun résultat à moins d’introduire les valeurs complexes de x; 
la réponse est alors immédiate : Parmi tous les points où la fonc- 
tion devient infinie ou mal déterminée, il en est un dont la distance 
o à l’origine est moindre que celle d’aucun autre ; la fonction 
réelle y est développable suivant les puissances croissantes de x 
lorsque x est compris entre — p et -f p. 
Cet exemple, d’une extrême simplicité, n’a été invoqué ici que 
pour faire entrevoir la voie dans laquelle s’est engagé M. Painlevé 
en abordant l’étude bien autrement compliquée des équations 
différentielles. 
Tout d’abord, il y a lieu de signaler une distinction fondamen- 
tale qui ressort de façon lumineuse de la théorie développée par 
l’auteur. Cette distinction tient à ce qu’ à côté des singularités 
communes aux équations de tous les ordres, il en existe d’autres 
qui ne se produisent qu’à partir du second, en sorte qu’on peut 
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