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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
envisager d'une part les équations du premier ordre, de l’autre 
celles d’un ordre quelconque à partir du second, que pour la 
facilité du langage, on est convenu d’appeler d’ordre supérieur. 
La différence profonde qui sépare les équations du premier 
ordre de celles d'ordre supérieur, consiste en ce que l’intégrale 
d’une équation du premier ordre, algébrique en y, y' et x, n’a 
comme singularités non algébriques qu’un nombre fini de valeurs 
de x fixes, c’est-à-dire indépendantes de la constante arbitraire, et 
pouvant se déterminer immédiatement sur l’équation différen- 
tielle même. 
Au contraire, pour les équations d'ordre supérieur, l'intégrale 
peut présenter des singularités transcendantes, par exemple de 
l’espèce logarithmique ou de l’espèce essentielle, variables avec 
les constantes arbitraires, et que rien ne met en évidence sur 
V équation différentielle. 
C’est l’existence possible de ces singularités essentielles qui 
constitue la plus grave difficulté de l’étude des équations d’ordre 
supérieur. 
Par exemple, dans le cas du second ordre, si l’intégrale est défi- 
nie pour x = xo par les valeurs initiales y = yo, y' — y'o, on con- 
çoit qu'il soit possible de chercher à étudier cette intégrale dans 
le voisinage de x 0 lors même que le système x 0 , yo, y'o est singu- 
lier pour le coefficient différentiel, c’est-à-dire pour la fonction qui 
exprime explicitement y' au moyen de y, y' et x : c’est ce qu’a 
fait M. Poincaré. 
On n’aperçoit, au contraire, de prime abord, aucun moyen pour 
étudier dans le voisinage de xo une intégrale qui devient indé- 
terminée pour x =■ Xo (telle la fonction : sin ^ pour x — o). 
Il semble donc qu'une telle singularité marque le terme de ce 
que peuvent atteindre les ressources actuelles de l'analyse. 
Cela seul suffit à faire ressortir l’importance qu’il y a à faire 
connaître des conditions entraînant nécessairement la non-exis- 
tence de telles singularités. 
D’ailleurs, les exemples d’équations du second ordre pourvues 
de telles singularités, que l’on a pu former, sont si simples qu’il 
était tout naturel de penser qu’une équation du second ordre 
quelconque devait les posséder. Or. c’est le contraire qui est 
vrai. Pour que ces singularités puissent se présenter, il faut que 
certaines conditions soient remplies. C’est là un des résultats 
principaux qu’avec une rare pénétration M. Painlevé est parvenu 
à mettre en lumière, et le peu que nous en disons ici est malheu- 
reusement impuissant à faire même entrevoir à celui qui nous 
