BIBLIOGRAPHIE. 
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lit l’admirable enchaînement de déductions, à la fois ingénieuses 
et profondes, par lequel l’auteur y a été conduit. 
De cette constatation inattendue résulte la classification des 
équations d’ordre supérieur en deux groupes; celles de la classe 
générale pour lesquelles les conditions dont il vient d’être ques- 
tion ne sont pas remplies, et les autres qui seront dites singu- 
lières. 
Une autre différence profonde sépare les équations du premier 
ordre de celles d’ordre supérieur : si on fait varier les conditions 
initiales, l’intégrale devient fonction des constantes arbitraires ; 
on peut d’ailleurs choisir pour celles-ci les valeurs initiales de 
l’intégrale et de ses n — i premières dérivées, si l’équation est 
d’ordre n. 
Dans le cas du premier ordre, l’intégrale considérée comme 
fonction de la constante arbitraire ne présente, dans tout le champ 
de variation de cette quantité, que des singularités algébriques. 
Dans le cas de l’ordre supérieur, au contraire, l’intégrale toujours 
considérée comme fonction des constantes arbitraires, peut pré- 
senter dans le champ de variation de chacune d’elles des singu- 
larités transcendantes, dépendant ou non, d’ailleurs, de la variable 
indépendante. 
Or, et c’est là un fait d’une haute portée, pour que ces singu- 
larités existent, il faut encore que l’équation appartienne à la 
catégorie qui a été dite précédemment singulière. 
Ces caractères, révélés par les belles recherches de M. Painlevé, 
touchent, on le voit, au fond même des choses. Ils permettent de 
distinguer parmi les équations d’ordre supérieur celles qui, en 
quelque sorte, prolongent les équations du premier ordre et 
celles, d’une nature toute différente, qui viennent s’y ajouter. 
Pour les premières, qui constituent la classe précédemment dite 
générale, les méthodes applicables dans le cas du premier ordre, 
s’étendent, pour ainsi dire, d’elles-mêmes, à une seule différence 
près dans les notations qui deviennent plus compliquées. Les 
secondes, au contraire, formant la classe singulière, échappent 
complètement à ces méthodes. 
L'utilité de ces considérations apparaît vivement lorsque, 
précisant le problème, on se propose d’étudier les équations dont 
l’intégrale générale est uniforme ou ne possède qu’un nombre 
fini de branches. 
Il nous suffira, pour permettre au lecteur de s’en faire une idée, 
de citer les très beaux résultats obtenus dans cette voie par 
M. Painlevé. 
