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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Si l’équation considérée est de la classe générale, son intégrale 
générale ne peut être uniforme ou à un nombre fini de branches 
sans se ramener par des transformations algébriques aux 
transcendantes engendrées par les équations linéaires ou aux 
fonctions abéliennes. L’auteur indique, d’ailleurs, le moyen de 
reconnaître si une équation différentielle donnée est de l'espèce 
en question et, dans ce cas, d’effectuer la réduction. 
Si, au contraire, l'équation considérée est de la classe singu- 
lière, l’intégrale, lorsqu’elle est uniforme ou à un nombre fini de 
branches, n'est pas nécessairement réductible aux transcen- 
dantes qui viennent d’être désignées. L’auteur donne une définition 
précise de l 'irréductibilité, au point de vue fonctionnel, d’une 
équation différentielle et fait connaître une équation du second 
ordre engendrant une transcendante uniforme irréductible aux 
transcendantes précédentes; c’est le plus simple des types ana- 
logues d’ordre n qui, pour n — 3, conduisent notamment aux 
fonctions fuchsiennes. 
Dans le cas du premier ordre, il n’existe pas de classe singu- 
lière. L’intégrale, si elle est uniforme ou à un nombre fini de 
branches, se ramène aux transcendantes ordinaires ou à celles 
qu’engendre l'équation de Riccati. L’auteur indique le moyen 
d'effectuer cette réduction, sans même supposer connu le nombre 
des branches de l’intégrale, en laissant toutefois de côté le cas où 
l’intégrale est algébrique, cas sur lequel il s’étend dans une étude 
spéciale. 
Les théorèmes précédents, relatifs au champ complexe, pré- 
sentent une importance capitale pour le champ réel, particulière- 
ment lorsqu’on les applique aux équations de la mécanique. 
Le problème général de la dynamique consiste à calculer à un 
instant quelconque les positions des points d'un système, con- 
naissant les conditions initiales. 
Avant de tenter de donner une solution de ce problème, on 
doit se demander si elle est possible. 
Quand le système passe par certaines positions dites singu- 
lières, on sait déjà qu’il peut y avoir indétermination, mais une 
singularité bien plus inattendue que nous révèle l’analyse de 
M. Painlevé, consiste en ce que pour une certaine valeur du temps 
la position du système peut devenir indéterminée (comme la 
fonction sin pour t =f,). L’auteur, pour éclairer ce point déli- 
cat. cite des exemples fort simples où se présente une telle singu- 
larité, alors que rien ne le ferait prévoir a priori sur les équa- 
tions. 
