BIBLIOGRAPHIE. 
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On conçoit l’intérêt qui s’attache à mettre en évidence cer- 
taines conditions moyennant lesquelles de telles singularités ne 
sauraient se produire. Cette étude conduit l’auteur à l’énuméra- 
tion de très nombreux systèmes, pour lesquels on peut calculer 
explicitement la position en fonction du temps par des séries 
convergentes, quel que soit le temps. 11 retrouve ainsi à titre de 
cas particuliers certains résultats obtenus tout autrement par 
M. Picard pour le mouvement d’un solide soumis à la seule action 
de la pesanteur. 
Appliquées au problème des n corps, ces considérations entraî- 
nent des conséquences très nettes. On avait admis jusqu’ici — et 
il faut avouer qu’une telle induction semblait a priori assez jus- 
tifiée — que le mouvement des n corps se poursuit régulièrement 
et peut être suivi indéfiniment à moins qu’il n’y ait choc, c’est- 
à-dire à moins que pour une certaine valeur du temps deux au 
moins des n corps ne tendent vers un même point déterminé de 
l’espace. En réalité, les considérations développées par M. Pain- 
levé montrent que la singularité la plus générale à prévoir est la 
suivante : Si la plus petite des distances des n corps pris deux 
à deux tend vers zéro lorsque le temps approche d’une certaine 
valeur, on ne peut en conclure a priori que deux des corps ten- 
dent l’un vers l’autre. Il peut se faire, en effet, que l’une de ces 
distances devienne très petite pendant une courte durée, puis 
qu’à l’instant suivant c’en soit une autre, la première étant rede- 
venue finie. En un mot, il peut se faire que, lorsque le temps 
approche d’une certaine valeur, il y ait une série de croisements 
et d'arrachements successifs des corps, de plus en plus fréquents. 
Qu’une telle singularité se présente réellement, cela n’est pas cer- 
tain; mais, en toute rigueur, on n’a pas a priori le droit de rejeter 
cette hypothèse. 
On peut dire qu’ici l’analyse de M. Painlevé fait pénétrer la 
rigueur mathématique là où la pensée livrée à elle-même ne 
pouvait apercevoir que le chaos. 
Dans le cas de trois corps — mais dans celui-là seulement — 
M. Painlevé démontre que, lorsque le temps approche d’une 
valeur quelconque, les trois corps tendent nécessairement vers 
des positions déterminées. Il suit delà que les coordonnées des 
trois corps sont développables en séries convergentes pour une 
valeur quelconque du temps, quelles que soient les conditions 
initiales, à moins toutefois que celles-ci n’entraînent un choc, au 
sens précis de ce mot, au bout d’un temps fini. La question est 
alors ramenée à étudier les mouvements qui correspondent aux 
