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REVU-: DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
L'auteur définit ensuite l ’ intégrale générale d'une équation du 
second ordre quelconque 
F (x, y, z, p, q. r, s, t) =- o, 
en adoptant la définition que M. Darboux a déduite des tiavaux 
de Cauchy. Pour cela, il étudie d'abord le problème de Cauchy. 
I ne intégrale est dite alors générale. lorsqu'on peut disposer des 
arbitraires qui y figurent de façon qu'elle satisfasse aux condi- 
tions imposées à l’intégrale particulière, de Cauchy. Il peut arri- 
ver que cette intégrale générale ne représente pas toutes les 
solutions de l'équation proposée : si F est une fonction entière, 
, 4 r/F c/F . c/F 
les intégrales singulières annulent simultanément--» — et — * 
Quand on dit que l'intégrale générale dépend de deux fonctions 
arbitraires, il ne faut pas, ainsi que l’observe M. Goursat, se 
méprendre sur le sens de cette dépendance. Se donner p fonc- 
tions arbitraires revient, somme toute, à se donner les termes 
d’une série arbitraire, unique quel que soit p. de sorte que le 
degré de généralité est. au fond, indépendant de p. Pour recon- 
naître si une intégrale est générale, il ne suffirait donc pas de 
compter le nombre des fonctions arbitraires qo’elle renferme. 
L’auteur montre encore que la connaissance d’une intégrale 
complète d’une équation du second ordre n’a plus la même por- 
tée que dans le cas du premier ordre, ce qui ne veut pas dire 
que la méthode de la variation des constantes perde ici toute 
utilité. 
Le chapitre II est une étude approfondie des équations de 
Monge et (l’Ampère, c’est-à-dire des équations linéaires quel- 
conques en r, s, /, rt — s 2 . 
Il débute par le problème de Cauchy relatif à ces équations. 
Une interprétation géométrique en facilite beaucoup la discussion 
et conduit à la notion capitale des deux systèmes de multiplici- 
tés caractéristiques. 
Suivant ensuite la voie ouverte par M. Soplius Lie pour les 
équations du premier ordre, M. Goursat élargit la définition 
ordinaire de l’intégrale. Les équations linéaires en ilx, cly, dp, 
dq qui définissent les multiplicités caractéristiques deviennent 
par là les équations essentielles, et on arrive aisément à la pro- 
priété fondamentale des équations considérées : “ Quand on 
applique à une pareille équation une transformation de contact 
arbitraire, on obtient une nouvelle équation de même forme, et 
