BIBLIOGRAPHIE. 609 
les caractéristiques se changent en de nouvelles caractéris- 
tiques. „ 
Puis l’auteur développe la méthode d’intégration de Monge, 
qui consiste avant tout à rechercher s’il existe des combinaisons 
intégrables des équations définissant nn des systèmes de carac- 
téristiques. La recherche générale des intégrales intermédiaires 
est ramenée à l'intégration de deux couples d’équations linéaires. 
Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, 
deux intégrales intermédiaires quelconques n et v sont en invo- 
lution. Il existe alors au plus trois combinaisons intégrables 
distinctes, et il peut en exister deux seulement. Dans le cas 
de trois, l’équation proposée appartient à la classe spéciale envi- 
sagée au chapitre I ; dans le cas d’une seule, une transformation 
due à Ampère, et que M. Goursat déduit simplement des trans- 
formations de contact, ramène l’équation à une autre qui ne 
contient plus que r comme dérivée du second ordre. 
Lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont distincts, 
deux intégrales intermédiaires de systèmes différents sont tou- 
jours en involution. Chaque système admet alors au plus deux 
combinaisons intégrables distinctes, de sorte qu’il y a lieu de 
distinguer six cas qui sont examinés successivement. Si un sys- 
tème, ou tous les deux, admettent une seule combinaison inté- 
grable, on peut ramener l’équation à ne plus contenir que une 
ou deux dérivées du second ordre, ainsi que l’a montré Ampère 
en employant des transformations de contact tout à fait générales, 
un demi-siècle avant les travaux de M. Lie. Dans le cas où aucun 
des deux systèmes n’admet de combinaison intégrable, si l’on 
connaît une intégrale renfermant trois constantes arbitraires, 
on peut, comme l’a remarqué M. Imschenetsky, faire disparaître 
le terme en rt — s 2 . 
L’intégration de l’équation aux dérivées partielles des surfaces 
minima, d’après Ampère, et la généralisation de sa méthode sont 
ensuite exposées. Enfin, la résolution du problème de Cauchy 
pour les équations manquant du terme en rt—s 2 et ne contenant 
ni x, ni y, termine le chapitre II : l’application à l’équation des 
surfaces minima fait retrouver les formules de M. Schwarz. 
Le chapitre III est consacré à divers exemples, empruntés 
pour la plupart à la théorie des surfaces, et qui fournissent 
d’intéressantes applications des procédés généraux d’intégra- 
tion. Citons les équations aux dérivées partielles des surfaces de 
Joaehimstal, des surfaces de Monge, des surfaces à lignes de 
courbure planes dans les deux systèmes, celles des surfaces 
