REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
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admettant une représentation sphérique donnée pour leurs 
lignes de courbure. Mentionnons aussi les équations dont les 
caractéristiques jouissent de quelque propriété remarquable 
relativement à la courbure, en étant des lignes asymptotiques, 
des lignes de courbure ou des lignes conjuguées des surfaces 
intégrales. 
Le chapitre IV, constitué pour la plus grande partie par les 
travaux personnels de l’auteur et par ceux de M. Bâcklund, est 
une théorie générale des multiplicités caractéristiques. On y 
étend aux équations du second ordre quelconques , la notion des 
caractéristiques envisagée jusqu’ici pour les équations de Monge 
et d’Ampère seulement. 
Que l’on considère, non plus les éléments du premier ordre, 
mais les éléments du second ordre, c’est-à-dire les ensembles de 
valeurs attribuées à x, y, z, p, q. r, s, t. On entendra par carac- 
téristique de l’équation proposée toute suite simplement infinie 
d’éléments du second ordre vérifiant certaines relations déter- 
minées que l’on est conduit à écrire. Il existe, en général, deux 
systèmes distincts de caractéristiques. Tous les éléments d'une 
caractéristique appartiennent généralement à une infinité de sur- 
faces intégrales, dépendant d’une infinité de constantes arbi- 
traires. Mais deux caractéristiques de systèmes différents, ayant 
un élément commun du second ordre, définissent une seule sur- 
face intégrale. 
Dans le cas d’une équation de Monge et d’Ampère, si l’on 
appelle caractéristiques du premier ordre celles qui ont été étu- 
diées au chapitre II, la comparaison avec les caractéristiques du 
second ordre, actuellement eu question, montre que toute carac- 
téristique du premier ordre appartient à une infinité de caracté- 
ristiques du second ordre, dépendant d’une constante arbitraire, 
à condition toutefois que les deux systèmes de caractéristiques 
soient distincts. On en conclut que tous les éléments d’une 
caractéristique du premier ordre appartiennent à une infinité de 
surfaces intégrales, dépendant d’une infinité de constantes 
arbitraires, et que deux caractéristiques du premier ordre, de 
systèmes différents, et ayant un élément commun du premier 
ordre, déterminent une surface intégrale et une seule. Les équa- 
tions de Monge et d’Ampère possèdent donc cette propriété, 
qu’étant données une surface intégrale et une caractéristique 
sur cette surface, il existe une infinité de surfaces intégrales 
ayant un contact du premier ordre avec la première tout le long 
