BIBLIOGRAPHIE. 
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de cette courbe. Mais cette propriété ne leur est pas spéciale, 
car elles la partagent avec d’autres équations du second ordre. 
En définissant les caractéristiques du premier ordre d'une 
manière générale, mais de façon à y comprendre celles des 
équations de Monge et d’Ampère, M.Goursat arrive à distinguer 
les équations du second ordre en quatre grandes classes, la 
distinction se conservant par toute transformation de contact : 
i° Les équations générales, qui admettent deux systèmes dif- 
férents de caractéristiques, tous les deux du second ordre ; 
2° Les équations d’une certaine forme, qui admettent encore 
deux systèmes distincts, mais l’un du premier ordre, l'autre du 
second ; 
3° Les équations de Monge et d’Ampère, pour lesquelles il 
existe deux systèmes, en général distincts, tous les deux du 
premier ordre ; 
4° Les équations affectant une forme déterminée très spéciale, 
qui admettent un seul système de caractéristiques et du premier 
ordre. 
Ces considérations permettent à l’auteur un retour fructueux 
sur le problème de Cauchy, et elles amènent la recherche géné- 
rale des intégrales intermédiaires qui est liée à la théorie des 
caractéristiques du premier ordre. Toute caractéristique d’une 
intégrale intermédiaire doit en être une du premier ordre, pour 
l’équation proposée : une équation du second ordre, prise arbi- 
trairement, n’admet donc aucune intégrale intermédiaire. Mais 
si l’on suppose une équation pourvue de caractéristiques du 
premier ordre, il pourra exister des intégrales intermédiaires 
avec deux constantes arbitraires : complétant une remarque de 
Bour, M. Goursat explique comment, (l'une pareille intégrale, 
on peut déduire une intégrale intermédiaire dont une solution 
soit tangente à une développable donnée, le long d’une courbe 
donnée, ce qui ramène la résolution du problème de Cauchy à 
l’intégration d’un système d’équations différentielles ordinaires. 
L’auteur examine ensuite le cas où les équations qui déter- 
minent les intégrales intermédiaires forment une involution, ce 
qui exige que les deux systèmes de caractéristiques soient con- 
fondus : l’intégration de l’équation se réduit alors à celle du sys- 
tème en involution. On obtient une classe nombreuse d’équations 
intégrables complètement par ce procédé, en considérant toutes 
les équations du second ordre qui peuvent rentrer dans le cas 
précédent par une transformation de contact. 
Le volume se termine par une analyse succincte du mémoire 
