VICTOR PUISEUX. 
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la théorie fort claire, Puiseux expose son excellente 
méthode des contours élémentaires , à laquelle on n’a rien 
changé d’essentiel. Il établit une classification des différents 
chemins par lesquels le point mobile z peut aller d’une 
position déterminée à une région quelconque du plan, 
montrant qu’au point de vue de la valeur finale de la fonc- 
tion, tous ces chemins se ramènent au chemin rectiligne 
augmenté d’un certain nombre de révolutions autour d’un 
ou de plusieurs points critiques. 
L’importance de ces notions se révèle surtout dans la 
troisième partie, là où il les applique à Y intégrale d’une 
fonction algébrique, c’est-à-dire à la fonction qui repré- 
sente la somme des valeurs de la première aux différents 
points d’ün contour donné, multipliées chacune par 
l’accroissement infiniment petit de la variable 5. Il rap- 
pelle, en le précisant, le beau théorème de Cauchy sur 
l’invariabilité de l’intégrale quand le contour se déforme 
entre les mêmes points extrêmes, sans franchir aucun 
point critique ; puis il étudie le cas où, au contraire, le 
contour d’intégration enveloppe un ou plusieurs de ces 
points, et fait voir que, pour évaluer alors l’intégrale, 
il suffit de déterminer sa valeur le long de chacun des con- 
tours élémentaires. A cause de la permutation des racines 
autour d’un point critique, ces intégrales élémentaires 
sont nécessairement en nombre limité, et constituent un 
certain groupe de constantes. Chaque fois que la variable z 
revient au même point du plan après avoir décrit un cer- 
tain chemin, la fonction intégrale s’accroît ainsi d’une ou 
plusieurs de ces intégrales élémentaires ; par conséquent, 
la variable z elle-même, considérée comme une fonction 
inverse de l’intégrale, reprend la même valeur quand 
celle-ci s’augmente d’une ou plusieurs de ces constantes ; 
elle en est donc une fonction périodique, et les intégrales 
élémentaires constituent des périodes. Mais il faut distin- 
guer celles qui sont réellement distinctes, et celles qui ne 
sont au contraire que des combinaisons ou des multiples 
