14 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
des premières. Puiseux donne pour cela des règles soigneu- 
sement étudiées et d’une grande clarté. 
Appliquée aux fonctions rationnelles, aux équations 
dans lesquelles u et z n’entrent qu’au second degré, cette 
méthode fait retrouver de beaux théorèmes de Cauchy et 
les propriétés des fonctions élémentaires. Mais, si l’équa- 
tion est du second degré en u et du quatrième en s, on 
obtient immédiatement la double périodicité des fonctions 
elliptiques, les propriétés fondamentales de ces fonctions, 
les valeurs de leurs périodes. Généralisant encore davan- 
tage, Puiseux démontre les caractères de périodicité des 
fonctions dites abéliennes, les théorèmes importants qui 
ont illustré le nom de Jacobi, et il établit sur les périodes 
des intégrales de fonctions algébriques une série de pro- 
positions remarquables. 
Ce beau mémoire a exercé une influence incontestable 
sur les progrès de l’analyse, en particulier de la théorie 
des fonctions d’une variable imaginaire. En donnant plus 
de précision à l’étude de ces fonctions, il a contribué à 
écarter certaines difficultés qu’on y rencontrait à chaque 
pas ; on lui doit une part notable des progrès qu’a faits de 
nos jours l’étude des fonctions définies par des équations 
différentielles algébriques. Il suffit, pour s’en convaincre, 
d’ouvrir le plus important ouvrage qui ait paru depuis 
longtemps sur la théorie des fonctions elliptiques, celui 
de MM. Briot et Bouquet, et de voir la place qu’y 
occupent les méthodes de Puiseux, à qui ces savants géo- 
mètres ont emprunté une grande partie de ce qu’ils 
exposent sur les fonctions algébriques et sur les périodes 
des intégrales définies. 
Un des juges les plus compétents, M. Ch. Hermite, à 
l’époque où ce mémoire paraissait, en signalait aussi l’im- 
portance lorsqu’il écrivait (1) : « Les propositions données 
par M. Puiseux sur les racines des équations algébriques, 
(1) Comptes rendus, t. XXX11, p. 458. 
