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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
à Laguerre, niais qui doit surtout son importance aux admirables 
travaux d'Halphen. M. Laurent doit nécessairement se borner 
à quelques considérations succinctes sur ce sujet, mais il prépare 
ainsi le lecteur à l’étude des travaux en question, étude que ne 
sauraient faire avec trop de soin ceux qui veulent se tenir au 
courant des grands progrès de la théorie des équations différen- 
tielles. 
L’auteur fait l’application des principes généraux précédem- 
ment établis à un grand nombre d’équations de types spéciaux. 
Il est amené, à ce propos, à développer les propriétés des fonc- 
tions de Legendre, d’Hermite, etc... Il convient de noter l’heureux 
emploi fait par M. Laurent des dérivées à indices fractionnaires, 
ce qui lui permet, en particulier, de définir nettement les fonc- 
tions précédentes pour une valeur quelconque de leur indice. 
L’auteur a réuni dans un chapitre spécial les principales 
notions que l’on possède relativement aux équations d’ordre 
supérieur non linéaires. Cela se borne, somme toute, à bien peu 
de chose. Il semble qu’il n’y ait là que les procédés de hasard 
qui réussissent. Cette théorie n’est, au fond, qu’un aveu d’im- 
puissance. Il nous semble pourtant que l’auteur aurait pu, à ce 
propos, dire quelques mots de la conception hardie deM. Poin- 
caré consistant, lorsque les méthodes connues d’intégration ne 
réussissent pas, à étudier la distribution dans le plan des courbes 
correspondant à l’équation différentielle donnée (au lieu de se 
borner à les étudier dans le voisinage d’un point du plan) et à en 
déduire certaines propriétés essentielles de la fonction définie 
par cette équation. L’étude faite ainsi par M. Poincaré est, en 
quelque sorte, selon sa propre remarque, qualitative. Elle lui 
permet, en particulier, de décider si les courbes répondant à . 
l’équation donnée, recouvrent toute l’étendue du plan, ou sont 
confinées dans une région limitée de ce plan, en d’autres termes, 
si ces solutions sont stables. Cette méthode, dont M. Poincaré a 
fait de si remarquables applications, notamment à des équations 
qui se rencontrent en Mécanique céleste, semble présager pour 
la science un avenir plein de promesses. 
M. Laurent s’attache ensuite à la théorie des équations simul- 
tanées, qu’il envisage indépendamment de ses rapports avec 
celle des équations aux dérivées partielles, rapports sur lesquels 
nous aimons à croire qu’il reviendra en temps voulu, dans la 
suite de son ouvrage. A titre de particularité sur ce sujet, 
notons que l’auteur donne la belle méthode de Cauchy, fondée 
sur l’emploi du calcul des résidus, qui permet d’intégrer d’une 
