LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE. 469 
article même le montre, on ne pourra pas m’accuser de 
faire le même reproche à l’arithmétique ; car on peut lire 
quelques lignes plus bas : « Je crois que la géométrie tout 
entière est démontrable, et j’espère qu’on arrivera un jour 
à l’établir à priori aussi clairement et aussi solidement que 
l’arithmétique. » Aujourd’hui, comme alors, la science des 
nombres me paraît beaucoup mieux assise que la géomé- 
trie. D’abord, ses parties imparfaites ont une portée beau- 
coup moins générale que les incertitudes de la science de 
l’espace; en supposant même quelles soient peu solides, 
comme elles ne supportent pas tout l’édifice, comme beau- 
coup d’autres parties en sont indépendantes, on ne peut 
pas dire que la science tout entière manque de certitude. 
Ensuite, même dans ces parties imparfaites, l’arithmétique 
élémentaire est beaucoup moins défectueuse que la géo- 
métrie ; ce qui leur manque, à notre avis, ce n’est pas la 
certitude, mais la netteté ; le vice est dans la forme plutôt 
que dans le fond. On le reconnaîtra, croyons-nous, en 
lisant ces pages. Un fait, du reste, vient à l’appui de cette 
appréciation. Tandis que les incertitudes de la géométrie 
euclidienne ont donné naissance aux diverses géométries 
hypothétiques de l’espace hyperbolique et de l’espace 
elliptique, rien de semblable n’a été tenté pour l’arithmé- 
tique. Bien des mathématiciens se sont occupés de cette 
obscurité, les uns pour essayer de la dissiper, les autres 
pour apprécier les efforts des premiers; aucun n’y a vu, 
croyons-nous, une raison de douter. Enfin, l’arithmétique 
élémentaire, la seule qui ait des rapports intimes avec la 
philosophie, n’offre plus guère que deux doctrines qui 
laissent à désirer : celle du nombre infini et celle du nom- 
bre incommensurable. Encore faut-il ajouter que la pre- 
mière, malgré son importance philosophique, a si peu de 
ramifications dans la science proprement dite, que les 
meilleurs traités la passent ordinairement sous silence. 
Ce ne serait certes pas pour nous une raison de n’en pas 
