LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE. 473 
son étymologie, que le dictionnaire de l’Académie semble 
tolérer en disant: «Incommensurable, signifie quelquefois, 
Qui ne peut être mesuré, qui est très grand ou infini. Un 
espace incommensurable. » C’est, croyons-nous, unique- 
ment à sa longueur que le mot doit cet emploi irrégulier, 
qui nous fait toujours l’effet d’un pataquès. Les mathéma- 
ticiens ne donnent à ce mot que les deux sens suivants : 
1° Ils disent que deux grandeurs de même espèce sont 
incommensurables entre elles, ou que l’une de ces gran- 
deurs est incommensurable avec l’autre, lorsqu’elles n’ont 
point de commune mesure, c’est-à-dire lorsqu’il est impos- 
sible de trouver une grandeur de la même espèce qui se 
trouve exactement un nombre entier de fois dans l’une et 
un nombre entier de fois dans l’autre. L’existence de 
pareils couples de grandeurs n’est pas une vérité évidente ; 
mais c’est une vérité parfaitement établie par les diverses 
branches des mathématiques, et tout particulièrement 
par la géométrie. Le cas le plus simple est le couple formé 
par la diagonale et le côté d’un môme carré. On sait, en 
effet, par la propriété connue du carré de l’hypoténuse, 
que le carré de la diagonale est équivalent au double du 
carré primitif. Or, si une même longueur se trouvait exac- 
tement m fois dans la diagonale et n fois dans le côté, 
il s’ensuivrait que le carré du nombre m serait 
égal à deux fois le carré du nombre n; c’est-à-dire que 
l’on aurait m 2 = 2n 2 ; égalité impossible, car elle se 
ramènerait, par la suppression des facteurs communs aux 
deux membres, à l’égalité entre un nombre impair et un 
nombre pair. Il est probable que ce cas d’incommensura- 
bilité, le plus simple de tous, fut aussi le premier reconnu, 
et qu’il fut signalé par Pythagore ; car c’est à lui qu’Eudème, 
disciple d’Aristote et auteur d’une Histoire de la géomé- 
trie, attribue la découverte des incommensurables. Depuis 
lors, les géomètres en ont démontré un très grand nombre. 
Cette première manière d’employer le mot incommen- 
surable ne crée aucune difficulté métaphysique ; elle ne 
