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fait que constater une chose rigoureusement démontrée, à 
savoir : l’impossibilité de trouver une commune mesure 
entre certaines grandeurs. 11 n’en est pas de même de la 
seconde manière; c'est elle précisément qui soulève les 
difficultés dont nous devons nous occuper dans tout le 
reste de cet article. Disons d’abord ce qu’elle est dans le 
langage universel des mathématiciens modernes ; nous la 
discuterons ensuite. 
2° Dans cette seconde manière, le mot incommensurable 
ne s’applique plus à des couples de grandeurs, mais à des 
nombres isolés. On dit, par exemple, que la racine carrée 
de 2 est un nombre incommensurable ; que, si un nombre 
entier n’est pas exactement le carré d’un autre nombre 
entier, sa racine carrée est un nombre incommensurable ; 
que, plus généralement, la racine cubique, quatrième, 
cinquième, etc., d’un nombre entier, quand elle n’est pas 
elle-même un nombre entier, et elle ne l’est que très rare- 
ment, est toujours un nombre incommensurable. Ajoutons 
que l’on démontre rigoureusement et sans peine qu’elle 
n’est jamais un nombre fractionnaire, ou, pour employer 
le langage reçu, qu’elle n’est jamais un nombre commensu- 
rable. Il s’ensuit que notre système de numération écrite, 
avec ses fractions décimales, même périodiques, et en y 
adjoignant les fractions ordinaires, est absolument incapa- 
ble de représenter exactement ces diverses racines. On dit 
bien qu’il nous permet d’écrire des valeurs aussi appro- 
chées que nous le voudrons des véritables ; mais il n’en 
est pas moins vrai que, soit en écrivant indéfiniment des 
décimales, soit en allongeant indéfiniment le numérateur 
et le dénominateur d’une fraction, il est absolument 
impossible d’exprimer la valeur exacte du plus simple 
même de ces nombres, de la racine carrée de 2. Et qu’on 
ne pense pas, pour se consoler de cette impossibilité, que 
les nombres incommensurables sont, du moins relative- 
ment, peu fréquents en mathématiques ; il serait plus exact 
de dire que la plupart des nombres employés dans les 
