LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE 
479 
la racine cl’une équation algébrique d’un nombre fini de 
termes dont les coefficients sont rationnels ; mais il paraît 
très difficile de démontrer rigoureusement cette propo- 
sition ; nous pouvons seulement faire voir que le carré 
de 7T est encore un nombre irrationnel (i). » Et, en effet, 
Legendre démontra cette dernière proposition. Il 
s’ensuivait que l’incommensurabilité de r. est d’un degré 
plus élevé que celle des racines carrées ; mais cela ne 
suffisait pas même à démontrer à 'priori l’inutilité des 
efforts que font depuis des siècles les malheureux cher- 
cheurs de la quadrature du cercle. Ce fut seulement en 
1882 que M. Lindemann démontra enfin rigoureusement 
que l’incommensurabilité de - est d’un degré infini ; c’est- 
à-dire, que n ne peut être la racine d’une équation algé- 
brique quelconque à coefficients commensu râbles, ou, ce 
qui revient au même, qu’en additionnant ensemble autant 
que l’on voudra de puissances entières de n, multipliées 
même chacune par tels nombres commensurables que l’on 
voudra, il sera toujours impossible d’obtenir autre chose 
qu’un nombre incommensurable. La démonstration de 
M. Lindemann a paru dans les Mathematische und natur- 
wissenschaftliche Mittheilungen , Berlin 1882, no 36. 
Chose remarquable, le nombre e, qui est la base des 
logarithmes népériens, et qui, malgré tout l’intérêt qu’il 
offre aux mathématiciens, n’a pourtant pas été l’objet 
d’autant de travaux que le nombre n., a été plus tôt que 
celui-ci placé certainement en dehors des incommensura- 
bles de degré fini. C’est en 1873 que M. Hermite est arrivé 
le premier à faire cette importante démonstration ; et nous 
ajouterons, pour être juste envers ce membre éminent de 
notre Société scientifique de Bruxelles, que M. Lindemann 
n’a réussi pour le nombre ~ qu’en s’inspirant du travail fait 
par M. Hermite pour le nombre e. 
Si nous ne craignions d’abuser de la patience du lecteur, 
(1) Eléments de géométrie, note iv. 
