LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE. 
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varie d’une manière continue, elle passe par une infinité 
de valeurs qui sont exprimables en nombres, et par une 
infinité d’autres qui ne le sont pas ; car, dès qu’il y en a 
une non exprimable, toutes ses subdivisions en parties 
égales, ainsi que leurs multiples, seront dans le même cas. 
» Il est évident qu’on ne pouvait laisser subsister une 
pareille anomalie dans la science. 
» C’est pour faire disparaître ces exceptions qu’on a donné 
une nouvelle extension à l’idée de nombre ; on n’a pas 
voulu que les seules grandeurs ayant une mesure commune 
avec l’unité fussent regardées comme exprimables en nom- 
bres ; et on a étendu cette dénomination à la manière d'être 
relative, au rapport de deux grandeurs quelconques, ayant 
ou n’ayant pas de mesure commune. » 
On le voit, Duhamel, en substituant, à des nombres 
commensurables rangés par ordre de grandeur, des lon- 
gueurs continues comptées sur une droite indéfinie, admet 
dans sa série autre chose que des grandeurs commensura- 
bles avec l’unité, et il peut ensuite logiquement parler de 
valeur limite, même quand cette valeur limite est une 
grandeur incommensurable. 
Résumons rapidement la suite de sa théorie, mais sur- 
tout à notre point de vue et en d’autres termes que les 
siens. 
Pour qu’il y ait égalité entre deux nombres incommen- 
surables, il faut et il suffit que l’on puisse approcher indéfi- 
niment de l’un et de l’autre par une même série de nom- 
bres commensurables. 
Cette définition de l’égalité est indépendante de la loi 
suivie dans l’approximation. — La démonstration de cette 
proposition, que Duhamel avait déjà donnée à très peu 
près dans les mêmes termes, vingt ans auparavant, dans 
son Cours d'analyse de l'École polytechnique, est loin 
d’être claire et facile à comprendre ; mais elle est rigou- 
reuse. 
Les nombres incommensurables sont dits plus grands ou 
