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plus petits, suivant que les grandeurs concrètes qu’ils 
exprimeraient à l’aide d’une même unité sont elles-mêmes 
plus grandes ou plus petites. 
Leur somme est le nombre qui exprimerait, toujours 
avec la même unité, la somme de ces grandeurs. 
Enfin il démontre ainsi qu’il suit que « les nombres 
incommensurables peuvent être considérés comme limites 
de nombres commensurables variables, croissant ou 
décroissant. » 
« Considérons en effet, dit-il, le rapport de deux gran- 
deurs qui n’ont pas de commune mesure. Partageons la 
première en un nombre indéfiniment croissant de parties 
égales, et portons les dans la seconde autant de fois que 
possible, nous aurons une quantité commensurable avec la 
première et qui sera au-dessous de la seconde de moins 
qu’une partie ; de sorte qu’en en ajoutant une de plus, on 
aura une nouvelle quantité commensurable avec la pre- 
mière, et qui dépassera la seconde de moins qu’une partie 
entière. Cette dernière étant plus petite que l’une des deux 
quantités commensurables et plus grande que l’autre, son 
rapport avec la première sera, d’après nos définitions, plus 
grand que le premier rapport commensurable et plus petit 
que le second. Et comme ces deux rapports ne diffèrent 
l’un de l’autre que du rapport d’une subdivision de la 
première ligne à cette ligne même, leur différence deviendra 
moindre que tout nombre donné en augmentant suffisam- 
ment le nombre des subdivisions, et il en sera de même à 
plus forte raison de la différence qu’ils ont l’un et l’autre 
avec le rapport intermédiaire de la seconde à la première. 
Ce dernier est donc un nombre fixe, dont les nombres 
commensurables variables, plus petits ou plus grands, 
s’approchent de manière que la différence qu’ils ont 
avec lui peut devenir et rester au-dessous de toute gran- 
deur. Donc, d’après la définition des limites, on peut dire 
que : 
» Tout nombre incommensurable peut être considéré 
