LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE. 489 
comme la limite d’un nombre commensurable variable, 
plus petit ou plus grand que lui. » 
Et c’est au moyen de ce théorème que Duhamel étend 
aux nombres incommensurables les règles de calcul 
démontrées pour les nombres commensurables. 
A-t-on jugé que cette théorie manque de rigueur ou de 
clarté ? Toujours est-il que, depuis Duhamel, on a publié, 
surtout en Allemagne, d’assez nombreux travaux sur ce 
sujet difficile (i). Un membre distingué de la Société scien- 
tifique de Bruxelles, bien connu des lecteurs de cette 
revue, M. Paul Mansion, vient précisément de donner, 
dans son journal Mathesis, un article intitulé : Définition 
d’un nombre incommensurable , qui nous dispense de 
résumer ici ces travaux ; car il y expose fort clairement et 
en peu de mots la définition qui forme le trait essentiel et 
distinctif de la nouvelle théorie. Citons-le donc textuelle- 
ment en ne soulignant que ce qu’il souligne. 
« Lorsque, par un procédé quelconque, on parvient à 
distinguer tous les nombres commensurables en deux 
groupes, l’un de nombres a, a 1 , a 2 , etc., plus petits, 
l’autre de nombres A, A x , A 2 , etc., plus grands, sans 
qu’aucun nombre commensurable sépare ces deux grou- 
pes, on dit qu’ils sont séparés par un nombre incommen- 
surable. Ce nombre incommensurable est défini par le 
procédé même qui sert à former les deux groupes. 
» Ainsi, par exemple, on peut distinguer tous les 
(1) Voir en particulier : E. Heine. Die Elemente der Functionenlehre, 
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, t. LXXIV, p 172. 
R. Dedekind. Stetigheit und irrationale Zahlen. Braunschweig, 1872. 
Lipschitz. Grundlehren der Analysis. 
P. du Bois-Reymond. Allgemeine Functionentheorie. 
Thomae. Emleitung in die Théorie der bestimmten Inlegralen. 
Peano, dans Calcolo differenziale e principii di calcolo intégrale { Angelo 
Genocchi), pubblicato con aggiunte del D> Giuseppe Peano. 
U. Dini. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variahili reali , 
pp. 1-44. 
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