490 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
nombres commensurables en deux groupes, l’un compre- 
nant ceux dont le carré est inférieur à 2, l’autre ceux dont 
le carré est supérieur à 2. Ces deux groupes ne sont 
séparés par aucun nombre commensurable, mais on dit, 
par convention , qu’ils sont séparés par un nombre incom- 
mensurable, représenté par le symbole i/ 2 . 
» D’après ce qui précède, les expressions suivantes sont 
donc équivalentes : 1° Les deux groupes (a, a v a 2 , etc.), 
(A, A 1? A 2 , etc.), ne sont séparés par aucun nombre 
commensurable, et 2° Les deux groupes sont séparés par 
un nombre incommensurable * (i). » 
Cette définition, on le voit, est indépendante de la 
considération explicite des grandeurs concrètes capables 
de varier d’une façon continue. Pour l’établir, on ne parle 
que des nombres abstraits, et on ne suppose connus au 
départ que les seuls nombres commensurables. Bien que 
M. Mansion, à la suite des auteurs dont il expose la 
théorie, ne néglige pas de représenter les opérations par 
les variations d’une longueur comptée sur une droite, il a 
soin de nous en avertir, la théorie prétend se passer de 
cette considération. « Nous n’introduisons ici, dit-il, une 
représentation géométrique que subsidiairement ; elle ne 
nous est pas indispensable. » Mais, en revanche, il doit 
reconnaître que son nombre incommensurable n’existe que 
par une pure création de notre esprit : « Ces deux groupes 
ne sont séparés par aucun nombre commensurable ; mais 
on dit, par convention, qu’ils sont séparés par un nombre 
incommensurable. » Ce nombre n’a donc, pour lui, qu’une 
existence subjective, à peu près comme les imaginaires 
de l’algèbre. Aussi, on ne peut lui reconnaître aucune 
propriété intrinsèque indépendante de notre esprit ; il faut 
lui en accorder par convention. Seulement, cette conven- 
tion ne se fera pas au hasard ; elle sera, comme pour les 
propriétés accordées aux imaginaires, déterminée par 
l’usage pratique que l’on veut faire de cette création 
(J) Mathesis , 1885, p. 52. 
