LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE. 491 
subjective. Elle n’en sera pas moins fondée sur l’arbitraire. 
Aussi, M. Mansion, avant d’établir les règles du calcul 
des incommensurables, commence par formuler comme 
suit la règle fondamentale : 
« En général, on étend par convention aux nombres 
incommensurables les propositions obtenues par démons- 
tration pour les nombres commensurables, chaque fois que 
la définition purement négative des nombres incommensu- 
rables ne suffit pas pour établir ces propositions. » 
Ajoutons une conséquence que M. Mansion ne signale 
pas. Les théorèmes auxquels on arrivera par ces conven- 
tions pourront n’avoir rien de conventionnel, quand ils 
auront pour objet exclusif les nombres commensurables. 
C’est ainsi qu’on arrive par l’emploi des imaginaires à des 
théorèmes parfaitement objectifs, indépendants de tout 
arbitraire, sur les quantités réelles. Mais, si la théorie 
nouvelle est l’expression de la vérité, les théorèmes qui 
auront pour objet les nombres incommensurables n’établi- 
ront, au fond, que des propriétés conventionnelles de ces 
nombres, puisque ces nombres eux-mêmes n’existent que 
par convention. Tel serait le cas, par exemple, des 
théorèmes de MM. Lindemann et Hermite sur l’incom- 
mensurabilité de 7 t et de e. Cette remarque, sans doute, 
n’en détruit pas complètement la valeur ; mais, à notre 
avis, elle en change notablement la portée. 
Les mathématiciens actuels se partagent entre les deux 
théories ; il en est même qui essaient de les concilier. 
Les philosophes doivent conclure de là que ni l’une ni 
l’autre n’est parfaite ; car, en mathématiques du moins, 
ce qui est à la fois rigoureux et clair s’impose à tous les 
initiés, et il ne lui faut pas longtemps pour s’établir 
définitivement dans la science. Mais les philosophes, 
s’arrêtant à cette conclusion, doivent-ils ensuite se croiser 
les bras en attendant que les mathématiciens se soient mis 
d’accord ? Nous ne le pensons pas ; il s’agit ici d’une 
