LES NOMBRES ET LA PHILOSOPHIE. 
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de la logique, pourrait bien n’ètre qu’une révolte contre 
celles de psychologie. Un nombre concret, en effet, est 
toujours plus facile à concevoir que le nombre abstrait 
correspondant, et le concept de celui-ci ne se forme que 
par abstraction au moyen du premier. Même après avoir 
opéré cette abstraction, on trouve souvent commode, dans 
les raisonnements, de revenir au concept antérieur, moins 
simple mais plus facile. Cela se voit jusque dans le cas des 
nombres entiers. Le nombre entier est tout ce qu’il y a de 
plus facile à abstraire, et pourtant, dans les premières 
pages des traités d’arithmétique, quand on veut établir 
certaines propriétés importantes fondées sur la nature 
même du nombre, c’est au nombre concret que souvent 
l’on a recours. Ainsi, pour démontrer l’égalité mn = nm, 
on substitue, dans chaque membre, au nombre abstrait 
appelé multiplicande, un nombre égal d’objets rangés 
d’une certaine façon, c’est-à-dire, en réalité, un nombre 
concret. Quant au nombre fractionnaire, nous allons voir 
qu’il n’v a vraiment pas d’autre moyen d’en former le 
concept général que de recourir à la considération de 
grandeurs concrètes, et il s’ensuivra que, à fortiori , cette 
considération doit être maintenue pour arriver au 
nombre incommensurable ; mais remarquons d’abord qu’il 
en résulte une seconde critique contre la nouvelle 
théorie. 
Cette seconde critique, nous l’avons déjà indiquée en 
passant, c’est que l’exclusion des grandeurs concrètes n’est 
qu’apparente dans cette théorie, et qu’en réalité, malgré 
l’intention des auteurs, l’idée de pareilles grandeurs est 
absolument indispensable pour comprendre leur définition. 
Nous ne leur adresserions pas ce reproche si leurs deux 
groupes de nombres abstraits a, q, fl 2 , ..., A, A 1? A 2 , ..., 
n’étaient composés que de nombres entiers. Le nombre 
entier diffère tellement des autres qu’on pourrait, à cer- 
tains égards, lui attribuer deux natures distinctes : une 
qui lui serait propre, l’autre qui lui serait commune avec 
