598 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
dont les plans passent par une droite. Incidemment, cette ques- 
tion l’amène à rechercher les trajectoires orthogonales d'une 
famille de cercles sur un plan, problème dont il donne une solu- 
tion des plus élégantes. 
L’auteur démontre, d’abord par la géométrie puis par l’ana- 
lyse, cette propriété capitale des systèmes conjugués : Tout 
système conjugué ne cesse pas d'être conjugué si l'on soumet la 
surface sur laquelle il est tracé, soit à une transformation homo- 
graphique, soit à une transformation par polaires réciproques. 
La démonstration analytique repose sur l’établissement de 
l’équation aux dérivées partielles à laquelle, soit les coordon- 
nées ponctuelles homogènes, soit les coordonnées tangentielles 
doivent satisfaire pour que deux familles de courbes soient con- 
juguées. A titre d’application, M. Darboux détermine toutes les 
surfaces pour lesquelles il existe deux familles conjuguées for- 
mées exclusivement de courbes planes, surfaces dont il fait con- 
naître deux modes de génération géométrique, l’un tangentiel, 
l’autre ponctuel. Il déduit de là une méthode très simple pour la 
détermination des surfaces dont les lignes de courbure sont pla- 
nes dans les deux systèmes. 
Après avoir rappelé la définition des caractéristiques d'une 
équation linéaire aux dérivées partielles, M. Darboux applique 
cette notion à l’étude des systèmes conjugués, ce qui le conduit à 
une proposition importante et nouvelle, renfermant un mode de 
détermination des deux familles de lignes de courbure d'une 
surface. 
A la théorie des systèmes conjugués se rattache celle des 
lignes asymptotiques, à laquelle l’auteur donne une forme très 
élégante en se basant sur le théorème de M. Kœnigs, et qu’il 
applique à certains cas particuliers, notamment au cas des sur- 
faces tétraédrales de Lamé. 
M. Darboux aborde ensuite l’étude des systèmes orthogonaux 
et isothermes. Il commence par rechercher les systèmes de 
coordonnées orthogonales permettant de diviser la surface en 
carrés infiniment petits, ce qui le conduit à la notion importante 
des coordonnées symétriques et à la détermination des systèmes 
isothermes. Il fait voir comment le problème des cartes géogra- 
phiques, c’est-à-dire de la représentation plane des surfaces 
non développables avec conservation des angles, revient à la 
détermination sur la surface considérée d'un système ortho- 
gonal et isotherme, et il résout le problème dans le cas de la 
sphère et des surfaces du second degré. 
