BIBLIOGRAPHIE. 
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Revenant aux propriétés générales des systèmes isothermes, 
l'auteur montre comment on peut se borner à l’étude sur une 
surface plane des questions relatives à la substitution d’un sys- 
tème isotherme à un autre. Il envisage les cas particuliers de 
l’inversion et de la transformation plus générale qu’il nomme 
circulaire , et les fait suivre d'intéressantes applications. En 
dernier lieu, il effectue la recherche de toutes les familles iso- 
thermes composées de cercles, et déduit de là une démonstration 
très simple de cette importante proposition à savoir que tous les 
tracés géographiques de la Terre, supposée sphérique, dans les- 
quels les méridiens et les parallèles sont représentés par des 
arcs de cercle, s’obtiennent en combinant avec des inversions 
planes la projection stéréographique ou la projection de Mer- 
cator. 
La théorie précédente amène tout naturellement M. Darboux 
à s’occuper de la représentation conforme des aires planes, 
théorie difficile qui doit à M. Schwarz ses plus hauts perfection- 
nements. Après avoir nettement posé les termes du problème, 
l’auteur indique le principe analytique sur lequel repose la solu- 
tion, et développe cette solution d’abord dans le cas d’une aire 
limitée par des droites, puis dans celui d’une aire limitée par 
des arcs de cercle, avec application au triangle plan limité par 
trois arcs de cercle et au triangle sphérique. Ce sujet ardu est 
traité par M. Darboux avec une rigueur merveilleuse qui 
n'épargne pas le plus petit détail et qui ne saurait, croyons-nous, 
donner prise à la moindre critique. 
M. Darboux consacre un chapitre spécial à l’étude du système 
orthogonal formé par les lignes de courbure. Il établit l’équa- 
tion différentielle des lignes de courbure, en donne quelques 
applications, démontre les formules célèbres d’Olinde Rodrigues, 
ce qui l’amène incidemment à définir la représentation sphé- 
rique de Gauss, indique diverses propositions conduisant à la 
détermination des lignes de courbure, au moyen des caractéris- 
tiques de certaines équations linéaires, prouve que l’inversion 
conserve les lignes de courbure, et fournit une démonstration 
nouvelle du théorème de Dupin relatif aux systèmes triples 
orthogonaux. 
La théorie analytique des lignes de courbure prend une forme 
particulièrement satisfaisante lorsqu’on fait usage d'un système 
spécial de coordonnées que M. Darboux désigne sous le nom de 
coordonnées pentasphériques et dont la notion dérive de la consi- 
dération du système de cinq sphères orthogonales. Cette théorie 
