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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
se rattache d’ailleurs elle-même à celle d’une substitution linéaire 
orthogonale à cinq variables. L’auteur établit les fonnules prin- 
cipales relatives aux distances et aux angles dans ce système de 
coordonnées, et démontre deux théorèmes fondamentaux d’où 
résulte l'importance des coordonnées pentasphériques au point 
de vue de la théorie des lignes de courbure et de celle des sys- 
tèmes triples orthogonaux, ainsi qu’une remarquable propriété 
de ces coordonnées par rapport à l’inversion. 
M. Darboux indique ensuite le rôle des coordonnées penta- 
sphériques dans l’étude de la sphère, et se trouve ainsi amené à 
définir les six coordonnées homogènes de la sphère analogues 
aux six coordonnées de la droite introduites par Plüeker. La 
considération simultanée de ces deux espèces de coordonnées a 
amené M. Sophus Lie à la découverte, capitale d’une transfor- 
mation qui établit une liaison entre les lignes droites et les 
sphères, et qui fait correspondre à une surface dont on sait 
déterminer les lignes de courbure une surface dont on connaîtra 
les lignes asymptotiques et vice versa. 
L’auteur envisage enfin le cas des coordonnées tangentielles. 
Il établit, dans ce système, l’équation différentielle des lignes de 
courbure, et en fait une application à 1a. surface de quatrième 
classe normale à toutes les positions d’une droite dont trois 
points décrivent trois plans rectangulaires. Il obtient des théo- 
rèmes analogues à ceux qu’il a rencontrés en coordonnées ponc- 
tuelles lorsque les coordonnées sont exprimées en fonction de 
deux paramètres, et les applique à la détermination des surfaces 
admettant une représentation sphérique donnée pour les 
lignes de courbure. 
Un remarquable système de coordonnées tangentielles intro- 
duit dans la théorie des surfaces par M. O. Bonnet, et qui se 
prête aux applications les plus variées, est* étudié en détail par 
M. Darboux. 
Les applications qui suivent cet exposé de théorie présentent 
toutes le plus haut intérêt. 11 nous suffira de dire qu’elles se rap- 
portent à la transformation de M. Lie dont nous avons déjà 
parlé plus haut, à la transformation par directions réciproques 
de Laguerre et à l’inversion. 
Le livre III est consacré aux surfaces minima dont la théorie 
n’a pas encore, que nous sachions, fait l'objet d’un exposé didac- 
tique pareillement développé. 
Dans l’avant-propos du beau mémoire qui lui a valu en 1880 
le grand prix des sciences mathématiques de l’Académie royale 
de Belgique, M. Ribaucour débute ainsi : 
