VARIÉTÉS 
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diviseurs et des dividendes quelconques, telles que 
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silique : c’est une des premières apparitions en Occident de nos 
tractions modernes, moins incommodes que les fractions duo- 
décimales antiques (1). 
Or voici que ces Lotharingiens, abacistes non médiocres, 
s’aventurent dans le domaine de la Géométrie. Dès lors, le sol va 
se dérober à tout instant sous leurs pas. Ils ne connaissent ni 
l'œuvre ni même le nom d’Euclide ; ils ignorent le théorème de 
Pythagore : — la propriété si élémentaire du carré de l’hvpoté- 
nuse ; — les plus simples propositions de la Géométrie, que 
Boèce, philosophant sur les Catégories d’Aristote, vient à rappe- 
ler au hasard de ses citations, les jettent dans l’embarras, et 
surtout le Geometricum (2) de Boèce a le don à la fois de pas- 
sionner leur curiosité et de leur susciter énigmes sur énigmes. 
Boèce, commentant les Catégories du Maître, a rappelé que la 
somme des angles intérieurs du triangle vaut deux angles droits. 
Que signifient ces mots, angles intérieurs ? Le triangle a donc 
aussi des angles extérieurs? Oui, car Ragimhold a lu dans le 
Geometricum une proposition où Boèce parle des angles exté- 
rieurs. On échange, entre Liège et Cologne, lettres sur lettres 
pour éclaircir ces termes. Ragimhold conjecture qu’angles inté- 
rieurs et angles extérieurs sont synonymes d’angles aigus et 
d’angles obtus (o). L’évêque Fulbert, consulté, hasarde une 
(1) Voy. déjà la lettre écrite entre 997 et 999 par Gerbert à Adelbold : In 
his geometricis figuris... (édition Bubnov, pp. 43-45). 
(2) Sous le titre de Geometricum Boethii, Ragimbold désigne l’étrange 
amas de pièces arithmétiques et géométriques qui forme les cinq livres de la 
Geometria Boethii, décrite par P. Tannery au ch. V de sa préface à" Une 
Correspondance d’écoldtres ; Bubnov donne l’analyse et la critique de cette 
Géométrie dans son Gerberii Op. math., pp. 180-188. Nous avons parlé déjà 
de cette Géométrie en cinq livres, bien distincte de la célèbre Ars geometrica 
en deux livres : celle-ci, oeuvre d’un pseudo Boèce de la tin du xi c siècle au 
plus tôt et publiée dans les Boetii op. malh. de Friedlein (1867), nous a 
occupé à propos de l’histoire de l’abaque et des apices, ou prototypes de nos 
chiffres arabes. 
(3) Ragimbold, ayant lu que la somme des angles intérieurs d’un triangle 
vaut deux droits, n’arrive à le démontrer que dans le cas du triangle rec- 
tangle isoscèle, ou du demi-carré. Quant au théorème de Boèce sur les angles 
extérieurs, il croit qu’il s’agit des trois angles ayant pour sommet commun 
le centre du cercle circonscrit au triangle, supposé équilatéral, et sous-tendus 
par les côtés du triangle, et il arrive à montrer que chacun de ces angles, 
valant 4/3 d’angle droit, est égal à la somme de deux angles intérieurs du 
triangle. 
