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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
4. Notions sommaires sur les surfaces de Riemann. Quelques 
exemples font voir l’ingénieuse conception de Riemann. 
11. Fonctions définies par des séries. 
5. Séries en général . Déplacements et groupements de termes. 
Multiplication terme à terme. Convergence uniforme dans un 
ensemble. Propriétés des séries absolument convergentes : con- 
tinuité, intégra bilité, dérivabilité. 
6. Séries entières. Module de convergence. Théorème d’Abel. 
Théorème de Cauehy-lladamard. Variation du cercle de conver- 
gence avec les coefficients. Isolement du zéro-origine. 
7. Produits infinis, ramenés à l’étude des séries. 
8. Séries trigonométriques , soulevant la fameuse controverse 
sur la « distinction » des fonctions. Convergence du développe- 
ment. Il n’existe qu’un développement uniformément conver- 
gent. Il n’existe qu’un développement convergent! Ileine-Cantor). 
9. Séries divergentes. Séries asymptotiques de M. Poincaré. 
Association d’une fraction continue à la série. Valeur moyenne 
d’une série divergente (Borel). Théorèmes. 
10. L’ exponentielle et les fonctions trigonométriques. Théorème 
de Eisenstein-Heine, permettant de rendre entiers, sauf un, tous 
les coefficients d’une série à termes rationnels. 
11. Fondions inverses. Fonction logarithmique. 
12. Fonctions trigonométriques (Produits infinis). 
13. Fonctions Eidèriennes. Propriétés. Théorèmes principaux. 
14. Séries hyper géométriques. Fonctions sphériques et cylin- 
driques. Ces deux derniers paragraphes donnent sobrement l’es- 
sentiel de ce qu’on ne peut plus ignorer sur ces représentations. 
III. Fonctions définies par des séries multiples. 
15. Séries multiples en général. Définitions. Convergence, 
convergence uniforme. Déplacement des termes. Fonctions ma- 
jorantes de Cauchy. Séries ayant pour termes des séries entières. 
16. Fonctions simplement et doublement périodiques. Etude 
parallèle intéressante. Fonctions de Weierstrass, y, l, cr de 
Weierstrass. Les fonctions 6. 
IV. Fonctions définies par des intégrales. 
17. La notion d’intégrale. Ligne rectifiable, domaine quar- 
rable. Les extensions successives. L'intégrale définie d’abord 
géométriquement, puis arithmétiquement par Cauchy, pour les 
fonctions continues (en général). Extension par Riemann aux 
fonctions discontinues sur des ensembles partout denses. Inté- 
grales par défaut et par excès de M. Darboux. Intégrale au sens 
