REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
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tique de son ordre de croissance, ce qui lui permet ensuite, en 
définissant les opérations sur les ordres, de noter, par des com- 
binaisons de signes élémentaires, les ordres de fonctions formant 
des classes de plus en plus étendues, parmi lesquelles il distingue 
les fonctions à croissance régulière. 
Il étudie ensuite — problème évidemment capital — l’influence 
de la différentiation et de l’intégration sur les ordres de crois- 
sance. Bien que ce problème soit habituellement résolu par des 
méthodes particulières à chaque cas, il s’attache uniquement à 
dégage)’ des faits généraux et réussit ainsi à poser les fondements 
d’une doctrine d’ensemble. Ce sont là, au reste, questions assez 
épineuses, et il ne faut rien de moins que la pénétration d’esprit 
de l’auteur pour en surmonter les difficultés. 
Les deux derniers chapitres sont consacrés aux applications, 
et, d’abord, aux applications analytiques visant l’étude des séries 
et des produits infinis. Cette étude conduit notamment l’auteur 
à de très curieuses et très utiles formules d’approximation pour 
la fonction T. Il analyse en détail, par les produits infinis, la 
relation entre la croissance d’une fonction entière et celle de ses 
zéros quand les croissances sont régulières. Pour les croissances 
irrégulières, il la met en évidence sur le développement en série 
de Taylor. 
Les applications arithmétiques terminent le volume. Elles 
visent surtout à utiliser la notion décroissance dans la classifi- 
cation des nombres incommensurables, en mettant en évidence 
d’étroites affinités entre les notions de croissance et d’incom- 
mensurabilité. De telles considérations sont parmi les plus déli- 
cates de celles que peut soulever l’étude des nombres, et M. Borel 
est de ceux à qui il a été donné d’émettre, à leur endroit, les 
idées les plus profondes, se rencontrant, au surplus, sur les 
points essentiels avec celles de M. Poincaré ; il semble bien, en 
effet, que la distinction entre les classifications prédicatives et 
non prédicatives, introduite par celui-ci, se confonde avec celle 
qu’avait précédemment établie .M. Borel entre les ensembles 
effectivement énumérables et ceux qui ne le sont pas. Notons, en 
passant, l’importance nouvelle attribuée par l’exposé de l’auteur 
à la notion de fraction continue, bannie aujourd’hui, à tort sans 
doute, des programmes de l’enseignement classique français. 
Cette dernière partie de l’ouvrage, où M. Borel étudie l’approxi- 
mation des nombres quelconques soit par les nombres ration- 
nels, soit par les nombres algébriques, en est d’ailleurs une des 
plus intéressantes. 
