BIBLIOGRAPHIE 
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II. I ..es fonctions entières d’ordre infini, qui se rattachent an 
sujet précédent et auxquelles est consacré le volume de M. Otto 
Blumenthal, constituent, elles aussi, un des domaines les plus 
nouvellement explorés de l’analyse mathématique, exploré d’ail- 
leurs, celui-ci, tout spécialement par l’auteur lui-même, en sorte 
que son volume est, pour la majeure partie, entièrement inédit 
et fait figure de mémoire original. 
Le volume s’ouvre par un historique — nécessairement très 
court, puisque la question est née d’hier — où l’auteur, après 
avoir rappelé les travaux de MM. Hadamard, Boutroux et Maillet 
sur les fonctions d’ordre infini non transfini, montre que c’est 
M. Borel qui a jeté les fondements d’une théorie comprenant 
toutes les fonctions entières d’ordre infini. « C’est, dit l’auteur, 
avec une intuition profonde et pénétrante que M. Borel a reconnu 
et signalé les difficultés spéciales du problème et indiqué les 
principaux moyens pour les surmonter. » 
Mais .M. Blumenthal a proposé lui-même un concept auxiliaire 
nouveau, celui de fonction type , dont .M. Kraft a su tirer un 
excellent parti pour traiter des cas généraux qui échappaient 
aux méthodes de M. Borel, et que l’auteur reprend à son tour 
pour en faire la base de son exposé. 
Il commence, en un très court chapitre, par faire une étude 
préliminaire de la croissance du module maximum d’une fonc- 
tion de variable complexe à l’intérieur d’un cercle, ayant son 
centre à l’origine, dont on fait varier le rayon, afin de mettre 
en évidence, sur des exemples, certaines particularités et irré- 
gularités que peut présenter cette croissance et de justifier par 
là les développements ultérieurs. 
Ayant, à propos des fonctions continues croissantes en général, 
été amené à distinguer entre des vitesses de croissance ordi- 
naire ou exceptionnelle , l’auteur se pose ensuite un problème 
d’interpolation, ou mieux (Y a justement consistant à remplacer 
une fonction croissante quelconque par une fonction qui ne 
croit jamais exceptionnellement vite ; c’est précisément le 
problème des fonctions types. 
L’étude de la distribution des points où une fonction prend 
une valeur déterminée le conduit à d’importantes généralisa- 
tions de propriétés fondamentales relatives au cas d’un ordre 
fini. 
11 en déduit, de façon synthétique, une théorie générale des 
produits canoniques, c’est-à-dire constitués au moyen de facteurs 
primaires de Weierstrass, où se rencontrent d’importants théo- 
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