REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
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avec l’invention ([ni procède souvent par tâtonnement et induc- 
tion. Gomme exemple d’exposition purement déductive de la 
géométrie, l’auteur cite avec raison le livre de Hilbert. 
M. Lechalas expose ensuite la géométrie purement numérique 
de De T i 1 1 y sous la dernière forme que lui a donnée ce profond 
géomètre, mais en faisant remarquer avec plus de netteté que 
lui, que toutes ses spéculations ne sont pas attachées à une 
forme d’extériorité quelconque, bien que ce soit l’étude des 
diverses géométries non euclidiennes qui aient conduit De T i 1 1 y 
à choisir certaines relations analytiques pour exprimer les inter- 
valles. La fin du chapitre est consacrée aux principes de la 
géométrie purement projective de Klein, où la détermination des 
indices de chaque point est fondée sur la construction dite du 
quadrilatère de von Staudt ; Hilbert a expliqué pourquoi la 
démonstration du théorème fondamental de géométrie plané 
sur lequel cette construction repose, doit s’appuyer sur la 
géométrie solide. 
Le chapitre II est consacré à la géométrie métrique. Dès le 
premier paragraphe, M. Lechalas réfute des préjugés très 
répandus qu’il importe d’écarter pour ne pas les rencontrer 
sans cesse dans la suite. Il montre que l’on a le droit de con- 
server la vieille notion de Légalité des figures complétée par 
l’axiome de libre mobilité ; qu’il est cependant possible d’étu- 
dier des espaces non identiques à eux-mêmes, comme l’est un 
ellipsoïde sur lequel on ne peut déplacer une figure sans la 
déformer; enfin il remarque qu’il importe de considérer à la fois 
à part et en rapport les uns avec les autres, des espaces à une, 
deux, trois ou quatre dimensions. 
Le paragraphe suivant, intitulé Géométrie à une et à deux 
dimensions, ne traite qu’une question relative à la géométrie 
à une dimension, celle de la symétrie : il est impossible d’amener 
un segment OA à coïncider avec son symétrique OA' de manière 
que A tombe en A , si l’on ne sort pas de l’espace à une dimen- 
sion considéré. Dans les géométries à deux dimensions sur les 
surfaces identiques à elles-mêmes qu’il appelle sphère, hori- 
sphère, hypersphère, il donne les propriétés caractéristiques 
des géodésiques de ces surfaces, par rapport aux géodésiques 
sécantes ou non sécantes, aux normales, aux équidistantes ; il 
considère aussi la somme des angles d’un triangle et la question 
de la similitude et de l’homogénéité. Au fond, dans ces quelques 
pages, on trouve résumées toutes les propriétés essentielles de 
la géométrie riemannienne, de la géométrie euclidienne et de la 
