BIBLIOGRAPHIE 
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géométrie lobatchefskienne, sous une forme éminemment pro- 
pre à faciliter l’intelligence des deux paragraphes suivants, qui 
traitent de la géométrie à trois dimensions et de la géométrie 
à quatre dimensions. 
Un espace à trois dimensions identique à lui-même dans 
toutes ses parties est caractérisé par sa géodésique qui est celle 
d’un des trois espaces à deux dimensions étudiés auparavant ; 
on peut d’ailleurs y distinguer une infinité de sphères et d’hyper- 
sphères, mais il ne contient qu’un horisphère à cause de la 
nature de la géodésique de cette dernière surface. M. Lechalas 
fait connaître la notion de courbure pour les surfaces et les 
lignes situées dans un même espace, celle de distance entre 
deux points comptée sur les diverses sortes de géodésiques qui 
peuvent les réunir. Le passage de la troisième dimension à la 
quatrième, est aussi facile que celui de la deuxième à la troisième. 
Dans un espace à quatre dimensions, on peut étudier simultané- 
ment et comparer les divers espaces à trois dimensions qui 
y sont contenus ; ceux-ci sont infiniment minces par rapport 
à la quatrième dimension. Deux figures à trois dimensions 
symétriques par rapport à une surface géodésique sont super- 
posables dans l’espace à quatre dimensions; une sphère hori- 
sphérique et une sphère (sphérique ou) riemannienne sont 
identiques, car elles sont l'intersection d’un espace horisphérique 
et d'un espace sphérique etc. etc. L’auteur résume ici les points 
les plus essentiels de son Introduction à la géométrie générale. 
Les autres chapitres du livre de M. Lechalas sont beaucoup 
moins remaniés que les deux premiers. Contentons-nous de 
signaler les changements principaux qui y ont été introduits. 
Dans le chapitre III, Histoire et polémiques relatives à la 
géométrie, l’auteur complète d’après Bonola l’historique de la 
géométrie générale, il fait connaître les postulats de Pieri et les 
idées fondamentales de Hilbert et de Dehn sur de nouvelles 
géométries obtenues en supprimant certaines notions fonda- 
mentales de la géométrie usuelle. M. Lechalas combat aussi 
certaines manières de voir de Barbarie et de nous où nous 
différons d’avec lui, sinon sur le fond, au moins dans la manière 
de nous exprimer sur les trois géométries. 
Le chapitre IV, Partie philosophique de la géométrie générale, 
a aussi été complété ; l’auteur y revient sur la nécessité (nous 
dirions utilité) de synthétiser les trois géométries en une géo- 
métrie unique et combat notre manière de voir sur le paradoxe 
des objets symétriques de Kant. 
