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REVT’E DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
Abel, c’esl-à-dire en définissant su u comme l'onction inverse de 
rinlégrale elliptique de première espèce de Legendre ; 
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rautenr introduit ainsi les transcendantes xn, en, dn, dans le 
domaine réel, à l’aide de l’inversion de cette intégrale. L’inté- 
gration de l’équation dilTérentielle d’Euler rournit la formule 
d’addition pour sn. On établit ainsi qu’il n’existe qu’une période 
fondamentale réelle pour cette fonction. En imaginarisant 
l’argument, ou montre que la formule d’addition permet encore 
de définir xn u dans tout le plan et d’en établir la double pério- 
dicité. 
Les intégrales elliptiques sont alors réduites aux formes nor- 
males et l’auteur aborde une des deux parties de son ouvrage 
où l’on trouve les renseignements nécessaires pour les calculs 
qui se présentent dans les applications. Il développe en série 
l’intégrale de première espèce qui se présente dans la théorie du 
pendule et l’intégrale de seconde espèce qui inlei vient dans la 
rectification d’un arc d’ellipse. Hans ce cas on a une élu qui 
n’est pas elliptique, mais qui admet néanmoins une fonction 
formule d’addition, en relation étroite avec la fonction sn. 
L’auteur donne des Tables abrégées des valeurs des intégrales 
elliptiques de première et de deuxième espèce (on n’en peut 
construire pour l’intégrale de troisième espèce, car il y a trois 
variables : x, c. A). Mais ces tables ne peuvent donner qu’une 
idée des valeurs de ces fonctions ; et l’on expose alors le calcul 
direct des intégrales elliptiques de première et de deuxième 
espèce. Une simplification est fournie par la transformation de 
Landen. Elle donne le rapport de deux intégrales elliptiques de 
même forme, mais de modules A inégaux. .M. de Montessus 
donne, d’après J. Bertrand, une élégante et lumineuse représen- 
tation géométrique de cette transfoi mation, comme correspon- 
dance entre deux angles dont l’un est insciit dans une demi- 
circonférence dont le diamètre contient le sommet de l’autre 
angle. 
La Seconde Partie, la plus longue des quatre, a pour but de 
passer des fonctions de Jacobi (sn, en, dn) aux Ibnctions de 
Weierstrass (pu, lu, ou). La théorie générale des fonctions 
doublement périodiques ne peut être établie commodément en 
partant des premières. Les secondes sont, il est vrai, moins bien 
