BIBLIOGRAPHIE 
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souvent le moyen d’y suppléer par l’emploi, aujourd’hui de plus 
en plus répandu, de méthodes graphiques, simples et expédi- 
tives, qui dispensent d’opérations beaucoup plus laborieuses. 11 
est toujours des cas où l’approximation un peu lâche à laquelle 
on est ainsi conduit ne saurait sullire, où, tout au contraire, on 
tient à se rendre maître de cette approximation et à se réserver 
la possibilité de la pousser aussi loin que l’on veut, (l’est pour 
de tels cas que s’impose la théorie développée dans ces levons 
par M. de la Vallée l'oussin avec tant d’élégance et de sûreté. 
Son étude ne porte, à la vérité, que sur deux modes de repré- 
sentation approchée : la représentation par polynômes une 
fonction prise seulement dans un intervalle déterminé, la repré- 
sentation trigonométrique pour une fonction périodique de 
période 5 tt. Mais on peut dire de ces deux modes de représen- 
tation qu’ils sudi.sent à tout dans le domaine des applications 
courantes. La légitimité de leur emploi découle de deux théo- 
rèmes fondamentaux, dus à Weierstrass, auxquels l’auteur 
consacre l’Introduction du volqme. Des démonstrations très 
simples qu’il en donne, visant avant tout la question d’existence, 
l’une est due cà M. Lebesgue, l’autre, bien qu’égalemenl inspirée 
des idées de cet auteur, porte la marque propre de .M. de la 
Vallée Poussin. 11 montre l’équivalence des problèmes de l’ap- 
proximation dans Puii et l’autre mode de repré.sentation, en 
faisant usage des polynômes considérés en premier lieu par le 
grand mathématicien russe Tchebichef(l), puis par M. Bernstein 
qui les appelle des polynômes trigonomélriqnes ; il introduit 
aussi, sous le nom de module de continuité, une notion à laquelle 
il aura constamment recours par la suite et qui lui permet, dès 
l’ahord, de donner une forme condensée à la condition de 
Lipschitz, puis de la généraliser. 
Le chapitre I renferme l’étude de l’approximation par les séries 
de Fourier et, dès ce début, on est saisi par l’heureux enchaîne- 
ment des propositions et l’élégante simplicilé de leurs démon- 
strations portant bien la marque de l’auteur. 
Pour pousser plus avant dans l’étude de l’approximation 
trigonométrique des fractions continues, l’auteur a recours à 
l’importante notion des sommes de Fejér, introduites en vue de 
(1) C’est pour nous conformer à une observation que nous avons recueillie 
lie la bouche même de cet illustre géomètre que nous employons ici, pour 
son nom, cette orthographe, au lieu de celle (Tchebycheffl dont, suivant un 
usage très courant, se sert .M. de la Vallée Poussin. 
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