RKVrt: DES questions SCIENTIFIQT’ES 
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la soniinalioii de la sfM'ie de Foiirier j)ar le procédé de la 
moyenne arithniéti(|iie, auxquelles est consacré le chapitre 11. 
On y rencontre d’intéressantes contrihulions personnelle.'' de 
M. de la Vallée Poussin sous l'orme soit de démonstrations nou- 
velles, grandement simpliliées, de certains résultats dus à 
M. S. Ileinstein, soit même de résidtats nouveaux touchant 
notamment la détermination d'une home de ta meilleure 
approximation l'ournie pai' une expression trigonométriciue 
ap|)rochée. 
Kn vue d’ahaisser la home précédemment assignée à l’approxi- 
rnation, l’auteui- a recours, dans le chapitre III, à des intégrales 
analogues à celles de Kejér, mais plus rapidement convergentes. 
Ainsi qu’il en l'ail lui-mème la rernaiapie, une partie des résultats 
qu’il ohtient ainsi ne sont pas sans analogie avec ceux que 
.VI. I). .lacivson a l'ait connaître, en Jh]l, dans sa thèse inaugu- 
rale; néanmoins, tant par la méthode suivie (jue par le plus haut 
degré de généralité atteint, .M. de la Vallée Poussin imprime 
encore à cette partie de son exposé un cachet bien personnel. 
Au chapitre IV, l’auteur s’atta([ue au prohlème en ([uelque sorte 
inverse du précédent qid consiste, pour une l'onction périodique 
représenlahle avec une approximation d’un certain ordre, à 
découvrir les pro[)riétés dilTérentielles (jui en sont la consé- 
quence et (pii, sous certaines conditions, prennent une l'orme 
singulièrement |>récise. 
Dans le Chapitre V, l’auteur passe à l’appi'oximation par 
polynômes (jui, d’après une indication déjà donnée dans l’Intro- 
duction, revient à une approximation trigonométrique. Il utilise 
là d’importants travaux de .VI. S. Bernstein et de M. D. Jackson, 
mais en les i)i ésentant sous une forme (pii lui est personnelle et 
en y ajoutant des remarques de grand intérêt. 
Au (’ihapitre VI, il ahorde, en s’aidant de certains travaux de 
M. Émile Borel et de VI. Bernstein, la question capitale du 
polynôme d’approximation minimum, dont la notion est due à 
Tchehichel’, c’est-à-dire du polynôme unique — c’est là le point 
essentiel — (pii, pour une fonction donnée prise dans un inter- 
valle donné, fournit la meilleure approximation compatihle avec 
son degré. 
Le (lliapitre Vil contient l’extension aux expressions trigono- 
métriques des théorèmes relatifs aux polynômes d’apiiroximation 
minimum. VI. de la Vallée Poussin y apporte une part notable 
de remarques nouvelles ingénieusement établies. 
Un coïKjoit que les singularités de la fonction représentée 
