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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
et la mesure dans laquelle une fonction discontinue est repré- 
sentée par les séries de Fourier. Depuis ce travail, qui fait 
époque dans l’histoire de la théorie des fonctions, plusieurs 
géomètres éminents se sont livrés à une discussion approfondie 
de certains cas plus compliqués dans lesquels la méthode 
de Dirichlet ne fournit plus une conclusion positive, sans parler 
des savants qui, comme M. Schlômilch, ont eu surtout en vue 
d’étendre les applications et les transformations de ces séries (i). 
M. Schlâfli et M. P. du Bois-Reymond (2) ont discuté si vraiment 
la série converge aux points de discontinuité, et se sont ici 
écartés, au moins en apparence, de l’opinion commune des 
géomètres. M. Lipschitz a montré, avec sa rigueur habituelle (3), 
que la formule de Fourier subsiste dans certains cas où la fonction 
présente une infinité d’oscillations, soit dans le voisinage d’un 
point donné, soit dans le plus petit intervalle, pourvu qu’elle 
vérifie certaines conditions, cas auxquels la démonstration de 
Dirichlet ne s’appliquait plus. 
Riemann, embrassant la question sous un autre point de vue, 
s’est attaché, dans un célèbre mémoire (4) où les travaux anté- 
rieurs sont appréciés de main de maître, à établir les propriétés 
générales de la fonction égale à la somme d’une série trigono- 
métrique, propriétés qui sont ainsi nécessaires pour que le déve- 
loppement soit possible. Il a montré, par des exemples, qu’il 
existe des fonctions indéfiniment oscillantes et intégrables qu’on 
ne peut représenter par la série de Fourier, et d’autres, non inté- 
grables , qui peuvent être représentées par une série trigonomé- 
trique pour des valeurs indéfiniment rapprochées de la variable. 
M. Heine s’est occupé (5) de la convergence uniforme des séries 
trigonométriques; il a prouvé quelle existe dans tout intervalle 
où la fonction représentée reste continue et n’admet pas une 
infinité d’oscillations. M. G. Gantor est allé plus loin (6) : il a 
établi solidement que, lorsqu’une fonction peut être représentée 
en série trigonométrique par la formule de Fourier, elle ne peut 
l’être que d’une seule manière ; théorème important dont la 
démonstration donnée par Fourier était devenue insuffisante. 
M. P. du Bois-Reymond, dont les recherches sur la série de 
(1) Analijtische Studien, t. II. 
(2) Math. Annal., t. VII, 1873. 
(3) Journal de Crelle, t. 63. 
(4) Math. Werke, p. 213. 
(5) Journal de Crelle, t. 71. 
(G) Ibid., I. 72 et 73. — Math. Annal., t. IV. 
