246 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Les deux chapitres suivants sont composés principalement 
des travaux de MM. Noether, Enriques et Castelnuovo, auxquels, 
cela va sans dire, M. Picard a joint une importante contribution 
personnelle. 
Le chapitre VII est consacré aux intégrales doubles de pre- 
mière espèce dont la notion a été, comme nous l’avons dit, intro- 
duite dans cette théorie par M. Noether. La forme de ces inté- 
grales, où interviennent les polynômes adjoints d’ordre m — 4 
cités plus haut, est analogue à celle des intégrales abéliennes de 
première espèce attachées ,à une courbe plane. 
A cette notion d’intégrales doubles se rattachent divers inva- 
riants dont la considération est fort importante. En premier lieu, 
le nombre même des intégrales doubles de première espèce 
linéairement distinctes attachées à une surface constitue évidem- 
ment un invariant, quand on effectue sur la surface une transfor- 
mation birationnelle. Cet invariant est le genre géométrique p g 
de la surface, dont la notion d’abord envisagée par Clebsch a été 
surtout approfondie par M. Noether. 
Si on considère les courbes C d’intersection de la surface par 
ses surfaces adjointes, le genre commun à toutes ces courbes 
est un nouvel invariant p (1) que les auteurs appellent le second 
genre de la surface. 
Enfin le nombre des points d’intersection mobiles de deux 
courbes C est encore un invariant p (2). 
Toutefois ces deux derniers invariants ne sont généralement 
pas indépendants : p (2) étant égal à p ( 1) diminué d’une unité. Il 
arrive pourtant, dans certains cas particuliers, que p (2) soit 
inférieur à cette valeur. 
En outre, quand la courbe C se décompose, p (1) est, en 
général, égal à l’unité. Mais ici encore, il y a des cas d’exception. 
Pour traiter ces divers cas exceptionnels, une digression est 
nécessaire sur les courbes gauches algébriques et sur leurs 
surfaces adjointes, considérées pour la première fois par 
M. Noether. O11 la trouve au chapitre VIII, où elle conduit à des 
résultats précis relativement aux invariants p (1) et p (2). 
Ensuite, une étude du nombre des conditions exprimant qu’une 
surface passe par une courbe gauche, permet de discuter l’expres- 
sion numérique du genre géométrique^. 
Ici se présente une particularité curieuse. On ne peut plus, 
comme dans le cas des courbes planes, donner, dans tous les 
cas, une expression générale de p g connaissant le degré de la 
surface et ses singularités. Il existe pourtant certaine expression 
