BIBLIOGRAPHIE. 
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mathématiciens ont eu longtemps pour objet de les réduire 
aux fonctions dites élémentaires , auxquelles avaient naturelle- 
ment conduit l’Algèbre et la Trigonométrie élémentaires. L’im- 
possibilité d’une telle réduction en-dehors de cas relativement 
très particuliers, mise en évidence notamment par les travaux 
d’Abel, a précisément rendu nécessaire la théorie nouvelle qui 
permet l’étude directe des fonctions sur les équations ou les 
séries servant à les définir. 
Dans le Chapitre I, l’auteur commence par s’occuper des 
fonctions algébriques, c’est-à-dire de celles qui sont liées à la 
variable par une relation algébrique. Si cette relation est du 
premier degré par rapport à la fonction w, celle-ci est uniforme 
(polynôme entier ou fraction rationnelle suivant que, dans la rela- 
tion écrite sous forme entière, le coefficient de w est constant ou 
non). Les représentations auxquelles, dans les cas les plus 
simples, donnent lieu ces fonctions, lorsqu’on se place au point 
de vue de Riemann, coïncident avec les transformations de la 
Géométrie élémentaire (translation, rotation, homothétie, inver- 
sion, transformation isogonale de W. Roberts,... considérées 
isolément ou combinées entre elles). 
Lorsque la relation algébrique de définition cesse d’être 
linéaire par rapport à la fonction, celle-ci devient multiforme. 
Dans ce cas, à chaque point du plan parcouru par la variable s 
correspondent plusieurs points du plan parcouru par la fonc- 
tion w et lorsque, partant d’une valeur de z. on revient à cette 
même valeur après un certain parcours, on est revenu ou non 
au même point w suivant que le chemin parcouru par le point z 
présente telle ou telle disposition par rapport à certains points 
singuliers déterminés par la relation de définition. Cette théorie, 
très délicate, a, comme on sait, définitivement été fondée par 
les travaux de Puiseux. L’exposé qu’en donne M. Fouet est d’une 
simplicité parfaite, qui ne sacrifie d’ailleurs rien de la rigueur. 
Il débute par quelques exemples simples, propres à faire res- 
sortir l’esprit de la méthode, avant d’aborder le cas général fort 
bien condensé dans toutes ses parties essentielles. 
Une intuition de génie a permis à Riemann de ramener le cas 
des fonctions multiformes à celui des fonctions uniformes ; elle 
a consisté à substituer au plan unique sur lequel on fait mouvoir 
le point ayant pour affixe la valeur de la variable plusieurs plans 
ou feuillets superposés (en nombre égal au degré de l’équation 
par rapport à la fonction) et soudés les uns aux autres suivant 
certaines lignes, ou coupures, définies par l’équation même. 
