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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Lorsque l’on convient que le point représentatif ne peut franchir 
une telle coupure sans passer de l’un à l’autre des feuillets 
qu’elle sert à souder, ou peut, à chaque point pris sur l’ensemble 
des feuillets, faire correspondre une seule valeur de la fonction ; 
en d’autres termes, la fonction, multiforme par rapport à un 
plan unique pris pour champ de variation de la variable, devient 
uniforme par rapport au plan feuilleté de Riemann. Cette ingé- 
nieuse conception, qui a si puissamment contribué à débrouiller 
le domaine des fonctions algébriques, est exposée par l’auteur, 
en une douzaine de pages, avec une clarté qui ne laisse rien à 
désirer. 
Le Chapitre 11 est consacré aux fonctions définies par des 
séries. L’auteur y expose d’abord les propriétés des séries en 
général, à termes complexes, établissant avec netteté la distinc- 
tion aujourd’hui classique entre les séries absolument conver- 
gentes et les séries semi-convergentes, la notion de convergence 
uniforme avec les propriétés fort importantes qui s’y rattachent, 
et poursuivant par l’étude des séries entières qui sert de fonde- 
ment à la théorie des fonctions analytiques, considérée au point 
de vue de Weierstrass. Lés beaux théorèmes d’Abel et de Cauchy 
(ce dernier retrouvé et précisé par M. Hadamard) sont démon- 
trés là avec une pleine rigueur. 
Avec juste raison l'auteur rattache à la théorie des séries celle 
des produits infinis qui, depuis Weierstrass, en est en quelque 
sorte le complément obligé. 
Il se livre ensuite à une digression fort intéressante sur les 
séries trigonomélriques qui ont, peut-on dire, joué le rôle prin- 
cipal dans l’évolution des idées relatives à la notion de fonc- 
tion. C’est, en effet, le célèbre théorème de Foncier sur la repré- 
sentation de fonctions arbitraires au moyen de telles séries(1807) 
qui a marqué le début de cette évolution. Le problème fonda- 
mental delà convergence de ces séries a fait l’objet des recherches 
de Dirichlet qui parvint à établir cette convergence lorsque sont 
réalisées certaines conditions assez étendues. Riemann, en appro- 
fondissant la question, démontra que ces conditions suffisantes 
ne sont certainement pas nécessaires; les conditions nécessaires 
sont encore à découvrir. 
Les séries divergentes, que l’autorité de Gauss. d’Abel et de 
Cauchy avait fait radicalement exclure de la Science, à cause 
des erreurs capitales que peut entraîner leur emploi, ont tout 
dernièrement vu cesser cet ostracisme. En démontrant que cer- 
taines séries divergentes, dites asymptotiques, peuvent, pour de 
