BIBLIOGRAPHIE. 
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très grandes valeurs de la variable, lorsqu’on en prend un 
nombre convenable de ternies, servir à représenter certaines 
fonctions, avec telle approximation que l’on veut, M. Poincaré a 
mis un terme à la défaveur systématique qui était restée atta- 
chée à ces séries. Mais ce sont surtout les remarquables travaux 
de M. Borel (1), fondés sur une généralisation curieuse des 
notions de limite et de somme, qui, parmi les séries divergentes 
précédemment rejetées en masse, en ont fait apparaître une 
catégorie importante, dites sommables, susceptibles d’être 
maniées avec autant de sécurité que les séries convergentes. 
L’auteur, après avoir donné un résumé substantiel de cette 
théorie nouvelle, signale en quelques mots un autre sujet qu’y 
avaient rattaché les travaux de Stieltjes, celui des fractions con- 
tinues algébriques, qui, tout récemment, a reçu d’importants 
développements de la part de M. Padé. 
D’un bout à l’autre, les généralités exposées par M. Fouet 
à propos des séries sont éclaircies par des exemples particuliers 
heureusement choisis. 
Il en fait ensuite l’application à l’étude directe des transcen- 
dantes que l’on peut considérer comme classiques : l’ex- 
ponentielle et son inverse le logarithme, les fonctions trigono- 
métriques et leurs inverses, la fonction eulérienne, les fonctions 
hypergéométriques. Ces transcendantes, fonctions analytiques 
simples qui ne satisfont à aucune équation algébrique, peuvent 
être définies plus rapidement au moyen d’équations différen- 
tielles auxquelles elles satisfont. Ici, en ne prenant comme point 
de départ que des séries ou des produits infinis, l’auteur montre 
comment peut être entièrement construite la théorie de ces fonc- 
tions. 
Dans le Chapitre III, il aborde les séries multiples, ayant soin, 
conformément à sa méthode, d’en faire une étude générale pour 
en appliquer ensuite les résultats à certaines transcendantes 
classiques. Cette théorie des séries multiples, entamée pour la 
première fois par Cauchy, a gagné en précision notamment grâce 
au secours de la théorie des ensembles. L’auteur s’occupe 
d’abord des séries à double entrée pour en généraliser ensuite 
les propriétés dans le cas d’un nombre quelconque d’entrées. Le 
mode suivant lequel s’effectue cette généralisation est d’ailleurs 
(1) Voir dans cette Revue (t. L, p. 632) l’analyse des Leçons sur les 
séries divergentes de cet auteur. 
