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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
rendu en quelque sorte palpable par l’exemple des séries d’Eisen- 
stein, d’abord à deux, puis à n variables. 
Parmi les séries multiples celles qui offrent, et de beaucoup, 
la plus liante importance sont les séries entières à plusieurs 
variables. Elles conduisent même à des propriétés nouvelles des 
séries entières à une seule variable, comme le fait voir tout 
d’abord l’auteur à propos des séries de Taylor (dans le cas, bien 
entendu, d’une variable complexe). Quant aux théorèmes géné- 
raux concernant les séries entières à plusieurs variables, et 
notamment les théorèmes fondamentaux d’Abel et de Weier- 
strass, l’auteur les établit en tonte rigueur (se bornant, pour sim- 
plifier les notations, au cas de deux variables) mettant en évi- 
dence nombre de corollaires d’une application constante. L’ex- 
tension du théorème de Cauchy-Hadamard l’amène à démontrer 
le théorème de M. Lemaire sur les rayons de convergence 
associés. 11 dit enfin quelques mots des produits infinis mul- 
tiples absolument convergents. 
Les fonctions elliptiques envisagées comme fonctions double- 
ment périodiques générales offrent à l’auteur un bel exemple 
auquel il s’attache avec soin. 11 débute parles définitions néces- 
saires relatives à la périodicité tant dans le cas de plusieurs que 
d’une seule variable, puis, grâce à un parallèle succinct, mais 
bien présenté, entre les fonctions trigonométriques et les fonc- 
tions elliptiques, il fait habilement naître une première idée de 
la véritable nature de celles-ci. 
En s’appuyant sur les généralités précédentes, il établit, en 
quelques pages, les propriétés principales d’abord de la fonction <r 
de Weierstrass définie par un produit infini, puis des fonctions r 
et p introduites par des dérivations successives et définies sous 
forme de séries doubles. Il passe enfin aux fonctions 0 de Jacobi 
à un seul argument et à celles à plusieurs arguments intro- 
duites d’abord par Gôpel et Rosenhain, développées par Weier- 
strass et qui ont conduit Riemann à son admirable solution du 
problème général de l’inversion des intégrales de différen- 
tielles algébriques. Bien que l’auteur ne tasse qu'effleurer le 
sujet, ces applications, d’une si haute importance, soulignent 
l’intérêt des généralités précédentes, qui ne s’affirme pas aussi 
nettement lorsqu’on ne les envisage que in abstracto. 
Le Chapitre IV a trait aux fonctions définies par des inté- 
grales. La théorie des intégrales prises entre limites imaginaires 
est un des plus beaux titres de gloire de Cauchy. “ La Science, 
d’après Hermite, n’a point d’exemple d’une conception plus 
