BIBLIOGRAPHIE. 
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féconde. „ Et M. Poincaré n’hésite pas à déclarer que “ cette 
théorie a pour ainsi dire doublé la puissance de l’Analyse 
mathématique 
Avant de l’aborder, l’auteur rappelle, en les précisant, quelques 
généralités sur les intégrales à éléments réels, ce qui lui est l’oc- 
casion de résumer de façon intéressante l’historique de la notion 
d’intégrale, de Leibniz et Newton à Cauchy et Riemann. Après 
avoir établi les conditions d’intégrabilité dans le cas des inté- 
grales simples ou multiples, il fait voir successivement comment 
les intégrales curvilignes se ramènent aux intégrales rectilignes 
et les intégrales entre limites imaginaires aux intégrales curvi- 
lignes, et démontre ce fait capital que l’intégration d’une fonction 
analytique dans un domaine donne naissance à une fonction 
également analytique dans ce domaine. 
11 s’attache ensuite plus spécialement aux intégrales de Cauchy 
fournissant une expression des fonctions holomorphes. Ayant 
fait connaître la formule de Green-Riemann (qui ramène certaines 
intégrales de surfaces à des intégrales curvilignes) et son exten- 
sion due à M. Pringsheim, il donne du théorème fondamental de 
Cauchy les démonstrations de Cauchy-Riemann et de M. Goursat, 
pour en déduire la représentation des fonctions analytiques par 
des intégrales curvilignes. Il démontre ensuite le célèbre théo- 
rème des résidus qui permet d’obtenir le nombre des racines 
d’une fonction holomorphe, intérieures à un contour donné, et 
conduit, entre autres corollaires, à une preuve si simple du théo- 
rème fondamental de la théorie des équations algébriques, attri- 
bué d’après Lagrange ( Œuvres , édition Serret, t. VIII, p. 209) 
à d’Alembert. 
Mais la conséquence peut-être la plus importante de la formule 
de Cauchy consiste dans la représentation des fonctions holo- 
morphes au moyen de développements de Taylor. Cette théorie 
est complétée par l'auteur au moyen de divers exemples d’appli- 
cation parmi lesquels celui qui se rapporte au développement 
des racines des équations algébriques mérite une mention spé- 
ciale. Enfin, il montre comment les intégrales de Cauchy servent 
à former des fondions majorantes, ce qui est utile pour établir, 
par la méthode dite des limites, l’existence des intégrales des 
équations différentielles. 
Après avoir indiqué les moyens de définir et de représenter 
les fonctions analytiques à l’intérieur de certains domaines, la 
question se pose d’étudier leur prolongement, au sens de Weier- 
strass, en dehors de ces domaines : tel est l’objet du Chapitre V. 
