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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Cette difficile théorie, dont M. A. Fouet est parvenu à donner 
un résumé d’une remarquable netteté, a puissamment contribué 
à rendre plus pénétrante notre connaissance de la nature des 
fonctions analytiques, en nous révélant “ des théorèmes qui, au 
dire de Weierstrass, ne s’accordent point avec les vues ordi- 
naires Le fait, définitivement établi par les travaux de 
M. Pringsheim, que la fonction la plus générale (pour laquelle la 
distribution des points singuliers n’est soumise à aucune loi) ne 
correspond pas à la série la plus générale (dont les coefficients 
ne suivent aucune loi), peut être cité parmi ceux qui sont faits 
pour nous surprendre. On en peut dire autant de l’existence des 
fonctions à espace lacunaire, mise définitivement en lumière par 
M. Poincaré. Il y a là tout un ensemble de notions absolument 
capitales que la simple intuition eût été impuissante à nous faire 
prévoir à priori. Weierstrass nous a appris que “ le concept 
d’une fonction monogène d’un argument complexe et le concept 
d’une dépendance exprimable par une suite d’opérations arith- 
métiques ne se recouvrent pas entièrement. De là il suit que 
plusieurs théorèmes importants de la nouvelle théorie des fonc- 
tions ne peuvent être toujours appliqués aux fonctions de varia- 
bles complexes, entendues dans le sens des anciens analystes 
Euler, Lagrange, etc. „ 
Au sujet de la représentation d’une branche uniforme de fonc- 
tion analytique de façon qu’il y ait coïncidence entre son domaine 
d’existence et le domaine de convergence des éléments intro- 
duits pour la représenter, l’auteur cite les travaux de MM. Borel, 
Lindelôf, Le Roy. Il analyse ceux de MM. Mittag-Leffler, Runge, 
Painlevé, Hilbert, relatifs à la recherche d’une série unique qui 
donne explicitement une telle branche de fonction en tout point 
de son domaine d’existence. 
L’une des raisons capitales de l’intérêt qui s'attache aux fonc- 
tions analytiques réside dans le fait qu’elles se présentent comme 
solutions de nombre d’équations différentielles. C’est encore à 
Cauchy que l’on doit les premiers résultats précis rencontrés sur 
ce sujet qui remplit le Chapitre VI. 
C’est, en premier lieu, des fonctions implicites que s’occupe 
l’auteur; il en démontre l’existence, d’abord suivant le mode pro- 
posé par Weierstrass, puis par un autre procédé fort simple 
inspiré du cas des fonctions algébriques. Dans le cas particulier 
de l'inversion d’une fonction holomorphe il fait usage du procédé 
de Cauchy. Il passe de là au cas général de p fonctions à n 
variables. 
