BIBLIOGRAPHIE. 
6o5 
Pour les équations différentielles ordinaires, l’auteur distingue, 
en vue d’établir les théorèmes d’existence, trois méthodes prin- 
cipales ainsi dénommées : calcul des limites (Cauchy-Weier- 
strass), quadratures (Cauehy-Lipschitz), approximations suc- 
cessives (Picard). Il s’étend sur la première, en s’inspirant des 
procédés de Weierstrass et de M. Méray, d’abord dans le cas 
d’une seule équation du premier ordre, puis dans celui d’un 
système quelconque d’équations du premier ordre. Pour prouver 
que le système de solutions est unique, ainsi que M. Picard l’a 
établi pour la première fois de façon précise, il a recours à la 
démonstration directe due à M. Painlevé. 
Une fois résolus les problèmes d’existence, la question se 
posait de poursuivre, sur l’équation elle-même, l’étude de l’inté- 
grale obtenue. Cette recherche, d’abord entreprise par M. Fuchs, 
a fait, depuis lors, l’objet de nombreux travaux parmi lesquels 
ceux de M. Poincaré méritent d’être cités à part. C’est la déter- 
mination des singularités qui domine toute cette étude ; parmi 
elles, les singularités essentielles mobiles sont la source des 
plus grandes difficultés. Grâce à un théorème célèbre, dont 
l’auteur rapporte la démonstration, M. Painlevé est parvenu à 
vaincre ces difficultés pour une classe étendue d’équations du 
premier ordre. 
Après avoir rappelé que, pendant fort longtemps, le seul pro- 
cédé d’intégration essayé pour les équations différentielles con- 
sistait à s’efforcer de les ramener à des équations résolubles à 
l’aide de transcendantes élémentaires ou par quadratures, 
l’auteur ajoute que la connaissance aujourd’hui acquise des 
modes de représentation des fonctions uniformes a permis 
d’agrandir le champ des équations intégrables en y comprenant 
celles dont l’intégrale, sans être réductible aux transcendantes 
classiques, est uniforme. 
Dans le cas du premier ordre, le bénéfice n’est qu’illusoire, 
M. Poincaré ayant prouvé que les équations à intégrale uniforme 
rentrent toutes dans des types précédemment intégrés. 
A partir du second ordre, il n’en va plus de même, et c’est 
l’une des plus belles découvertes de M. Painlevé d’avoir non 
seulement déterminé explicitement les équations du second ordre 
dont l’intégrale générale est uniforme, mais encore discerné 
parmi elles (en les réduisant à cinq types canoniques) celles qui 
introduisent des fonctions uniformes essentiellement nouvelles. 
Il a d’ailleurs également ouvert la voie pour une étude analogue 
relative aux équations d’ordre supérieur. 
