BIBLIOGRAPHIE. 
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lors, le problème se pose de trouver tous les systèmes possibles 
d’équations qui admettent des transformations infinitésimales 
données, problème dont la solution est développée tout au long- 
par l’auteur. 11 recherche ensuite la condition nécessaire et suffi- 
sante pour qu'un système complet d’équations différentielles 
admette le groupe des transformations à un paramètre, défini 
par une certaine transformation infinitésimale, et part de là 
pour démontrer le deuxième théorème fondamental visant la 
condition nécessaire et suffisante pour que r transformations 
infinitésimales indépendantes engendrent un groupe de transfor- 
mations à r paramètres essentiels et que complète le troisième 
théorème fondamental, faisant connaître les relations qui lient 
les r 3 constantes de structure d'un groupe à r paramètres. 
A ces notions fondamentales, Lie est venu en ajouter d’autres, 
d'un caractère à priori fort abstrait et dont on ne parvient à 
saisir l’importance qu’en avançant dans la théorie et surtout en 
se rendant compte des applications auxquelles elle conduit. 
L’auteur les aborde successivement. Telles sont celles de tran- 
sitivité et de primitivité des groupes de transformations, de 
variétés invariantes (dont les points s’échangent entre eux par 
les transformations du groupe), de systèmes invariants de 
transformations infinitésimales, de groupe adjoint (faisant cor- 
respondre à chaque transformation du groupe une transforma- 
tion linéaire appartenant elle-même à un groupe dont on déter- 
mine le nombre de paramètres essentiels), de structure des 
groupes, et, en particulier, d’ isomorphisme, de similitude des 
groupes, de groupe paramétrique, de groupe dualistique, de 
groupes prolongés, d’invariants différentiels du groupe primi- 
tif. L’étude de ces questions ardues exige de la part de l’étudiant 
uniquement familiarisé avec les principes de l’Analyse classique, 
un effort soutenu ; mais nous croyons pouvoir affirmer que cet 
effort ne saurait être soulagé davantage que par l’exposé très 
net de M. Vivanti, fort bien transposé dans notre langue par 
M. Boulanger. Toutefois il faut convenir que ces généralités 
offrent à qui les aborde pour la première fois un caractère en 
quelque sorte artificiel que, seules, les applications sont capables 
de faire disparaître. Aussi M. Vivanti nous semble-t-il avoir sage- 
ment agi, rompant ici avec l’exemple de Lie, en insérant immé- 
diatement à la suite des principes généraux (et avant de passer 
à l’étude de certaines transformations spéciales) leur application 
aux équations différentielles, qui constitue la deuxième Partie 
de l’ouvrage. 
