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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
les choses que superficiellemeni, on eût pu croire qu’il n’y avait 
rien fie nouveau à dire. A la vérité, dans les applications pra- 
tiques, on n’a généralement à effectuer de telle intégration 
qu’entre des limites où la fonction est finie et continue. Mais le 
mathématicien ne saurait se contenter d’envisager les choses 
du point de vue simplifié qui suffit au technicien. Il ne saurait se 
dispenser de creuser les notions qui sont à la hase de la science 
pour en établir avec rigueur la véritable nature et saisir exacte- 
ment les rapports qu elles peuvent offrir entre elles. Telle est la 
tâche que M. Lebesgue s'est imposée en ce qui concerne l’inté- 
gration des fonctions réelles de variables réelles. Une telle étude 
touche plutôt au côté philosophique de la science qu’à son côté 
pratique; mais il importe, pour l’honneur de l’esprit humain, 
qu’elle soit poussée à fond. 
L’étude à laquelle s’est livré M. Lebesgue l’a conduit à une 
définition nouvelle de l’intégrale qui apparaît comme le couron- 
nement de tous les développements contenus dans ses leçons. 
“ Cette définition, dit il, est nécessaire et naturelle. J’ose dire 
qu’elle est, en un certain sens, plus simple que celle de Riemann, 
aussi facile à saisir que celle-ci et, seules, des habitudes d’esprit 
antérieurement acquises peuvent la faire paraître plus compli- 
quée. Elle est plus simple parce qu’elle met en évidence les 
propriétés les plus importantes de l’intégrale, tandis que la défi- 
nition de Riemann ne met en évidence qu’un procédé de calcul. „ 
Avant d’aborder l’objet de ses recherches personnelles, 
l’auteur a eu soin d’exposer avec netteté le développement de la 
notion d’intégrale depuis ses origines jusqu’à Riemann en passant 
par Cauchy et Dirichlet. Il donne d’ailleurs à la définition de 
Riemann une forme géométrique qui suppose acquises, relative- 
ment à la mesure des ensembles, certaines connaissances sur 
lesquelles il s’étend en suivant la méthode d’exposition de 
M. Jordan. Il donne aux ensembles mesurables par le procédé 
de ce savant géomètre le nom < Vensembles mesurables J, et c’est 
leur considération qui lui permet d’établir la définition géomé- 
trique équivalente à celle de Riemann, qui, dans le cas d'une fonc- 
tion continue, n’offre avec celle de Cauchy que des différences de 
forme. Dans le cas des fonctions discontinues, elle permet de 
retrouver les intégrales par excès et par défaut de M. Darboux 
avec leur signification géométrique. 
Quelques-uns des résultats obtenus jusque-là sur l’intégrale 
s’appliquent à la rectification des courbes, moyennant la con- 
sidération d’une classe importante de fonctions définies par 
