BIBLIOGRAPHIE. 6 1 7 
M. Jordan, les fondions à variation bornée, auxquelles l’auteur 
consacre un chapitre. 
Passant à la notion d’intégrale indéfinie, l’auteur montre 
qu’elle ne doit pas être confondue avec celle de fonction primitive. 
Néanmoins l’intégration peut rendre d’importants services dans 
la résolution de problèmes qui généralisent, en des sens divers, 
le problème des fonctions primitives, et l’auteur développe cette 
étude où les nombres dérivés de P. du Bois- Reymond et Dini 
jouent le rôle principal. 
Inversement, on peut des fonctions primitives déduire l’inté- 
grale définie, ainsi que le font Duhamel et Serret ; mais cette 
définition n’est pas équivalente à celle de Riemann, comme le 
fait voir l’auteur en s’appuyant notamment sur l’exemple, dû à 
M. Volterra, d’une fonction dérivée non intégrable au sens de 
Riemann. 
Cette étude critique amène M. Lebesgue à remarquer “ le rôle 
de certaines propriétés simples, conséquences de toutes les 
définitions de l’intégrale déjà étudiées „,qui “ doivent nécessaire- 
ment appartenir à l’intégrale, si l’on veut qu’il y ait quelque 
analogie entre cette intégrale et l’intégrale des fonctions conti- 
nues „.II se propose, en conséquence, d’attacher à toute fonction 
bornée, définie dans un intervalle fini, un nombre fini, qui sera 
dit son intégrale et qui devra répondre aux conditions essen- 
tielles (au nombre de six) du problème d’intégration. Il obtient 
ainsi une définition dite descriptive, en opposition avec celles 
dites constructives (les plus fréquentes en Analyse) par les- 
quelles on énonce quelles opérations il faut faire pour obtenir 
l’être que l'on veut définir. D’ailleurs, pour pouvoir être appli- 
quée, une définition descriptive doit être traduite en une défini- 
tion constructive. C’est ce à quoi parvient M. Lebesgue, en ce 
qui concerne sa définition de l’intégrale, en faisant voir d’abord 
que pour savoir calculer l’intégrale d’une fonction quelconque, 
il suffit de savoir calculer les intégrales des fonctions qui ne 
prennent que les valeurs 0 et 1 . et traitant ensuite le problème 
de l’intégration de ces dernières fonctions, qui, traduit en lan- 
gage géométrique, donne naissance au problème de la mesure 
des ensembles, auquel se rattache ensuite la notion des fonc- 
tions mesurables. L’ensemble de toutes les considérations qui 
précèdent permet enfin à l’auteur d’énoncer sa définition ana- 
lytique de l’intégrale, définition constructive cette fois, à laquelle 
il fait correspondre une définition géométrique, ainsi qu’il l’a 
fait plus haut pour la définition de Riemann. 11 montre ensuite 
